Projet — Analyse de la Polarisation

Projet L3 Informatique (2025–2026), cours Fondements Mathématiques pour l'Aide à la Décision.

Ce script Python implémente les fonctions développées dans le notebook du projet sur la mesure de la polarisation des préférences électorales.

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Contenu du fichier projet.py

Le fichier est organisé en quatre parties :

Partie 1 — Génération des profils de vote

• generation_profile_approbation(n, m, polarisation, p=0.1) — Génère un profil de n bulletins d'approbation sur m candidates. Le paramètre polarisation (entre 0 et 1) contrôle le niveau de polarisation : 0 = consensus pur, 1 = deux groupes totalement opposés. Un bruit binomial de paramètre p est ajouté pour simuler la variabilité réelle.
• generation_profile_ordretotal(n, m, polarisation, p=0.1, scale=1, spread=1) — Même logique pour des votes par ordre total (classements). Le bruit est introduit par des échanges locaux tirés autour de la position médiane du classement.

Partie 2 — Mesure φ²

• calcul_d_approbation(p) — Calcule les valeurs d_{c_k, c_l}(p) pour toutes les paires de candidates, pour un profil par approbation. Retourne un dictionnaire {(k, j): valeur}.
• calcul_d_ordre(p) — Même calcul pour un profil par ordre total.
• phi2_approbation(p) — Calcule la mesure φ² pour un profil par approbation.
• phi2_ordre(p) — Calcule la mesure φ² pour un profil par ordre total.

Partie 3 — Distances et mesures φ_dH / φ_dS

• distance_hamming(a1, a2) — Distance de Hamming entre deux bulletins d'approbation.
• distance_spearman(s1, s2) — Distance de Spearman entre deux classements (ordres totaux).
• u1_approbation(p) — Calcule u1*(p) pour des votes par approbation en exploitant la valeur majoritaire par coordonnée (complexité O(nm)).
• u1_ordre(p) — Calcule u1*(p) pour des votes par ordre total via un couplage parfait de poids minimum (scipy.optimize.linear_sum_assignment).
• centroide_approbation(cluster) — Calcule le bulletin consensus d'un cluster (valeur majoritaire par position).
• centroide_ordre(cluster) — Calcule le classement consensus d'un cluster via couplage parfait.
• u2_approbation(p, nb_restarts=20) — Estime ũ2*(p) par l'algorithme k-means (k=2) pour des votes par approbation. Plusieurs relances aléatoires sont effectuées pour limiter l'impact des optima locaux.
• u2_ordre(p, nb_restarts=20) — Même estimation pour des votes par ordre total.
• phi_dH(p) — Calcule φ_dH(p) = (2 / n·m) · (u1*(p) − ũ2*(p)) pour un profil par approbation.
• phi_dS(p) — Calcule φ_dS(p) = (4 / n·m²) · (u1*(p) − ũ2*(p)) pour un profil par ordre total.

Graphiques

• plot_phi2(n, m, nb_points) — Trace l'évolution de φ² en fonction du paramètre de polarisation pour les deux types de votes (questions 6).
• experiment(n, m, nb_tests) — Trace l'évolution de φ_dH et φ_dS en fonction du paramètre de polarisation, en moyennant sur plusieurs profils générés (question 15).

Fonction principale

• main() — Démontre une utilisation minimale du script : génération de profils, calcul des mesures et affichage des graphiques.

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Prérequis

• Python 3.8 ou supérieur

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Dépendances

Bibliothèque	Usage
numpy	Génération aléatoire, calculs vectoriels
scipy	Résolution du couplage parfait (linear_sum_assignment)
matplotlib	Tracé des graphiques
math	Calcul de factorielles pour la normalisation de φ²
random	Sélection aléatoire des centroïdes initiaux dans k-means

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Installation des dépendances

Si les bibliothèques ne sont pas déjà installées :

pip install numpy scipy matplotlib

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Lancer le script

python projet.py

L'exécution du main() enchaîne les étapes suivantes :

1. Génération d'un profil d'approbation et d'un profil par ordre total avec polarisation intermédiaire.
2. Affichage des bulletins générés.
3. Calcul et affichage des mesures φ², d_H, d_S, u1*, φ_dH, φ_dS sur ces profils.
4. Tracé des courbes d'évolution de φ² en fonction de la polarisation (deux graphiques séparés).
5. Tracé de la courbe d'évolution de φ_dH et φ_dS (graphique unique avec légende).

Les graphiques s'affichent à l'écran via matplotlib. Fermer chaque fenêtre pour passer au suivant.

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Remarques importantes

Temps de calcul

• u1_ordre et u2_ordre sont coûteux sur des grands profils car ils construisent une matrice m×m pour chaque appel à linear_sum_assignment. Avec nb_restarts=20 dans u2_ordre, le calcul peut être lent si n et m sont grands.
• Pour les graphiques (experiment), réduire n, m ou nb_tests accélère significativement l'exécution.

scipy — linear_sum_assignment

La fonction linear_sum_assignment de scipy.optimize résout le problème d'affectation linéaire (couplage parfait de poids minimum dans un graphe biparti). Elle est utilisée pour calculer u1_ordre et centroide_ordre. Sa complexité est O(m³).

numpy — génération aléatoire

Les fonctions de génération utilisent np.random (non seedé par défaut). Les résultats varient à chaque exécution. Pour des résultats reproductibles, ajouter np.random.seed(42) en début de script ou au début de main().

matplotlib — affichage interactif

Les graphiques utilisent plt.show(), qui bloque l'exécution jusqu'à la fermeture de la fenêtre. En environnement non interactif (serveur, notebook), remplacer par plt.savefig("nom.png").