276. Paint Fence

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+# 276. Paint Fence
+- 問題: https://leetcode.com/problems/paint-fence/
+  - 代替: https://www.lintcode.com/problem/514/
+  - 代替: https://algo.monster/liteproblems/276
+- 言語: Python
+
+## Step1
+- 同じ色の柱は2つまで隣接して良い
+- 組合せかと思ったが、組合せではない？
+- 15分ほど考えたが思い浮かばず
+
+### 正しい方針
+- 自分の方針は塗り方のパターンをリストでそのまま再現しようとしていた。塗り方の数（組合せ）を数える方針でよい。
+- DPで「直前と同じ色か」つまり「現在の柱が前の柱と同じ色で塗装できるかどうか」を状態としてもつ。これは、最後の2本の柱の塗装パターンによって決まる。
+- i番目の柱まで塗り終えた状態を2つに分けて数える。
+  - `same_patterns[i]`：i番目とi-1番目が同じ色である塗り方の数
+    - i-1番目とi番目を同じ色にする。このとき、もしi-2番目とi-1番目も同じ色だったら3連続になってしまうので、i-2番目とi-1番目は必ず違う色でなければならない。色の選び方はi-1番目の色に合わせるだけなので1通り。
+  - `different_patterns[i]`：i番目とi-1番目が異なる色である塗り方の数
+    - i-1番目までの塗り方（同色でも異色でも良い）に対して、i番目をi-1番目と違う色にする。i-1番目以外のk-1色から選べる。
+
+### 正答
+```py
+class Solution:
+    def numWays(n: int, k: int) -> int:
+        if n == 0:
+            return 0
+
+        if n == 1:
+            return k
+
+        different_patterns = [0] * n
+        same_patterns = [0] * n
+
+        different_patterns[0] = k
+        same_patterns[0] = 0 
+
+        for i in range(1, n):
+            different_patterns[i] = (different_patterns[i - 1] + same_patterns[i - 1]) * (k - 1)
+            same_patterns[i] = different_patterns[i - 1]
+
+        return different_patterns[n - 1] + same_patterns[n - 1]
+```
+- 時間計算量: $O(n)$
+- 空間計算量: $O(n)$
+
+### 正答（配列を使わない方法）
+```py
+class Solution:
+    def numWays(n: int, k: int) -> int:
+        if n == 0:
+            return 0
+        if n == 1:
+            return k
+
+        same_patterns = k              # same_patterns[2]
+        different_patterns = k * (k - 1)    # different_patterns[2]
+
+        for i in range(3, n + 1):
+            same_patterns, different_patterns = different_patterns, (same_patterns + different_patterns) * (k - 1)
+
+        return same_patterns + different_patterns
+```
+- 時間計算量: $O(n)$
+- 空間計算量: $O(1)$
+
+## Step2
+- 典型コメント集: https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.leqr94ydg2be
+
+- https://github.com/goto-untrapped/Arai60/pull/44
+  - Java
+  - Step1の方法に加えて、再帰（Top-down DP）、メモ化再帰（Top-down DP）の方法
+    - LRU Cacheを自前実装し、メモ化
+  - 今回の漸化式からフィボナッチ数列を連想するし、213. House Robber と方針は同じだと思った
+    - つまり、状態を2つの配列で管理せずとも、1つの配列で「i本塗る場合の総数」を管理できる
+  - フィボナッチ数列の極限によるステップ数の見積: https://github.com/goto-untrapped/Arai60/pull/44/changes#r1706360077
+
+- https://github.com/hayashi-ay/leetcode/pull/17
+  - Python
+  - Step1の方法に加えて、再帰（Bottom-up DP、Top-down DP）、メモ化再帰（Top-down DP）の方法
+    - LRU Cacheを自前実装し、メモ化
+
+### Step3
+#### 読みやすく書き直したコード
+##### 方針
+- iterative Bottom-up DP
+- 1個の配列（リスト）で「i本塗る場合の総数」を表現する
+  - 違う色にする場合：i-1本までの塗り方（`num_ways[i-1]`通り）に対して、i番目をi-1番目と違うk-1色から選ぶ
+→ `num_ways[i-1] * (k-1)`
+  - 同じ色にする場合：3連続を避けるため、i-1番目とi-2番目は必ず違う色でなければならない。i-2本までの塗り方（`num_ways[i-2]`通り）に対して、i-1番目をi-2番目と違う色にして（これで自動的にk-1通り選んだことになる）、i番目はi-1番目と同じ色にする（1通り）
+→ `num_ways[i-2] * (k-1) * 1` = `num_ways[i-2] * (k-1)`
+
+```py
+class Solution:
+    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
+        if n == 0:
+            return 0
+        if n == 1:
+            return k
+
+        num_ways = [0] * n
+        num_ways[0] = k
+        num_ways[1] = k * k
+        for i in range(2, n):
+            num_ways[i] = (k - 1) * (num_ways[i - 1] + num_ways[i - 2])
+
+        return num_ways[-1]
+```
+- 所要時間:
+  - 1回目: 2:32
+  - 2回目: 1:43
+  - 3回目: 1:41