Simulation thermique 1D en C++

Projet de simulation thermique avec deux modeles:

• stationnaire (regime permanent)
• instationnaire (evolution temporelle)

Le code resout un systeme tridiagonal par decomposition LU et exporte les resultats en CSV et VTK.

Prérequis

• Compilateur : g++ (suite GNU C++)
• Norme C++ : C++23
• Système d'exploitation : Linux, macOS, Windows (MinGW/MSYS2)
• Outils optionnels :
  • Paraview pour visualiser les fichiers VTK
  • Python (pour traiter les fichiers CSV)

Description scientifique

Problème physique

Le projet simule la conduction thermique 1D dans un domaine solide avec échange convectif aux frontières.

Équation de conduction (loi de Fourier) : $$\rho C_p \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + S$$

Où :

• $\rho$ : densité du matériau (kg/m³)
• $C_p$ : capacité calorifique massique (J/kg·K)
• $k$ : conductivité thermique (W/m·K)
• $S$ : source volumique (W/m³)
• $T$ : température (K)

Conditions aux limites :

• Flux prescrit : $-k \frac{\partial T}{\partial x} = \Phi$ (ou transfert convectif : $h(T - T_e)$)
• Température imposée : $T = T_0$

Approches numériques

Cas stationnaire : Résout $\frac{d^2T}{dx^2} = 0$ (équilibre thermique)

Cas instationnaire : Utilise un schéma implicite Euler pour la discrétisation temporelle : $$\frac{T^{n+1} - T^n}{\Delta t} = \frac{k}{\rho C_p} \frac{\partial^2 T^{n+1}}{\partial x^2}$$

Structure du projet

CSV/
INCLUDE/
PARAMETRE/
RAPPORT/
SRC/
VTK/

• SRC/main.cpp : point d'entree, lance les deux modeles.
• SRC/matrice.cpp + SRC/resolution.cpp : assemblage et resolution du cas stationnaire.
• SRC/matInst.cpp + SRC/resolutionInst.cpp : assemblage et resolution du cas instationnaire.
• SRC/parametres.cpp : lecture de PARAMETRE/simu.cfg.
• PARAMETRE/simu.cfg : parametres physiques et numeriques.
• CSV/ : resultats tabulaires (stationnaire.csv, instationnaire.csv).
• VTK/ : sorties pour visualisation.
• RAPPORT/rapport.pdf : rapport du projet.

Parametres utilises

Le fichier PARAMETRE/simu.cfg est lu dans un ordre fixe, par exemple:

Lx 0.04 Ly 0.004 Lz 0.05
M 10000
Phip 125000
hc 200
rho 2700
Cp 940
kapa 164
Te 20
stationary 0
TFinal 300
N 600
Mx 50 My 10 Mz 30

Parametres détaillés

Paramètre	Type	Unité	Description
Lx, Ly, Lz	float	m	Dimensions du domaine (longueur, largeur, profondeur)
Mx, My, Mz	int	-	Nombre de points dans chaque direction
M	int	-	Nombre total de points de discrétisation
rho	float	kg/m³	Densité du matériau
Cp	float	J/kg·K	Capacité calorifique massique
kapa	float	W/m·K	Conductivité thermique (kappa)
Phip	float	W/m²	Flux de chaleur prescrit à la frontière
hc	float	W/m²·K	Coefficient d'échange convectif
Te	float	K ou °C	Température extérieure (ambiance)
TFinal	float	s	Temps final de simulation
N	int	-	Nombre de pas de temps
stationary	int	-	0 : mode instationnaire, 1 : mode stationnaire uniquement

Architecture du code

Modules principaux

• parametres.cpp/hpp : Lecture et stockage des paramètres depuis simu.cfg
• matrice.cpp/hpp : Construction de la matrice tridiagonale pour le cas stationnaire
• resolution.cpp/hpp : Factorisation LU et résolution du système stationnaire
• matInst.cpp/hpp : Construction de la matrice pour le schéma implicite (instationnaire)
• resolutionInst.cpp/hpp : Boucle temporelle et résolution itérative
• main.cpp : Orchestration : orchestration des deux cas, I/O CSV/VTK

Flux d'exécution

1. Initialisation : Lecture de simu.cfg par parametres.cpp
2. Cas stationnaire (si stationary >= 0) :
   • Assemblage matrice matrice.cpp
   • Résolution LU resolution.cpp
   • Export CSV et VTK
3. Cas instationnaire (si stationary == 0) :
   • Boucle temporelle resolutionInst.cpp
   • Export aux temps définis : t = 15s, 30s, 60s, 90s, 150s, 210s

Compilation et execution

Compilateur

g++ (C++23)

Depuis la racine du projet:

g++ -std=c++23 -O2 SRC/main.cpp SRC/parametres.cpp SRC/matrice.cpp SRC/resolution.cpp SRC/matInst.cpp SRC/resolutionInst.cpp -o SRC/main
Version debug(affichage supplementaire):

Version debug:

g++ -std=c++23 -DDEBUG -g SRC/main.cpp SRC/parametres.cpp SRC/matrice.cpp SRC/resolution.cpp SRC/matInst.cpp SRC/resolutionInst.cpp -o SRC/main

Exécution

Important : Lancer l'exécutable depuis le dossier SRC/, car les chemins sont relatifs (../PARAMETRE/simu.cfg, ../CSV/, ../VTK/).

cd SRC
./main ../PARAMETRE/simu.cfg

Exemple complet (depuis la racine du projet)

# 1. Compiler
g++ -std=c++23 -O2 SRC/main.cpp SRC/parametres.cpp SRC/matrice.cpp \
    SRC/resolution.cpp SRC/matInst.cpp SRC/resolutionInst.cpp -o SRC/main

# 2. Exécuter
cd SRC
./main ../PARAMETRE/simu.cfg

# 3. Vérifier les résultats
ls -la ../CSV/       # Résultats tabulaires
ls -la ../VTK/       # Résultats pour Paraview

Sortie attendue :

Lecture des parametres OK
Simulation stationnaire lancee...
Simulation instationnaire lancee...
Export CSV et VTK termines.

Sorties générées et visualisation

Format CSV

Cas stationnaire : CSV/stationnaire.csv

x,numeric,exacte
0.0,58.4544,58.4487
0.001,60.2345,60.2234
...

Cas instationnaire : CSV/instationnaire.csv

x,t=15s,t=30s,t=60s,t=90s,t=150s,t=210s
0.0,37.0699,42.1234,48.5678,52.3456,56.1234,58.1065
...

Format VTK pour Paraview

• Stationnaire : VTK/stationnaire.vtk (structure 3D avec champ de température)
• Instationnaire : VTK/instationnaire/masolution_*.vtk (un fichier par pas de temps pour animation)

Ouvrir dans Paraview

1. Télécharger Paraview

2. Ouvrir le fichier VTK :

   paraview ../VTK/stationnaire.vtk

3. Appliquer un filtre de visualisation (Colors, Representation)

4. Pour l'instationnaire, charger la série masolution_*.vtk pour une animation temporelle

Méthodes numériques

Factorisation LU pour systèmes tridiagonaux

Pour un système tridiagonal $AX = F$ :

• Décomposition : $A = LU$ (L inférieure, U supérieure, adaptée à la structure tridiagonale)
• Résolution en deux étapes :
  • Descente : $LY = F$ (substitution avant)
  • Remontée : $UX = Y$ (substitution arrière)
• Avantage : Complexité $O(n)$ au lieu de $O(n^3)$ pour Gauss standard

Cas stationnaire

• Assemblage d'une matrice tridiagonale pour l'équation de conduction 1D avec échange convectif.
• Conditions aux limites incorporées directement.

Cas instationnaire

• Schéma implicite Euler rétrograde (stabilité inconditionnelle)
• Boucle temporelle : pour chaque pas $n = 1, 2, ..., N_t$
  • Assembler la matrice avec pas de temps $\Delta t$
  • Résoudre le système linéaire
  • Exporter si temps d'intérêt ($t = 15, 30, 60, 90, 150, 210$ s)

Validation et tests

Cas stationnaire

Le code compare la solution numérique avec une solution analytique (disponible pour conduction sans source avec conditions limites simples).

Métrique d'erreur : $$L^\infty = \max_i |T_{num,i} - T_{exact,i}|$$ $$L^2 = \sqrt{\sum_i (T_{num,i} - T_{exact,i})^2}$$

Exemple de résultats :

• x = 0 : numeric = 58.4544, exacte = 58.4487 → erreur ≈ 0.0057°C

Cas instationnaire

Validation qualitative par :

• Monotonie de la température (évolution physique correcte)
• Convergence vers la solution stationnaire à temps infini
• Respect du bilan énergétique (conservation de l'énergie)

Exemple :

• x = 0 : t=15s → 37.0699°C, t=210s → 58.1065°C (approche vers 58.45°C du stationnaire)

Recommandations de tests

1. Vérifier que les résultats CSV ne contiennent pas de NaN ou inf

2. Comparer CSV/stationnaire.csv et CSV/instationnaire.csv à t=TFinal

3. Tracer les courbes avec Python :

   import pandas as pd
   import matplotlib.pyplot as plt
   df = pd.read_csv('../CSV/stationnaire.csv')
   plt.plot(df['x'], df['numeric'], 'b-', label='Numérique')
   plt.plot(df['x'], df['exacte'], 'r--', label='Exacte')
   plt.legend()
   plt.show()

Documentation détaillée

Pour une analyse approfondie (équations, résultats détaillés, graphiques, discussions) :

• Rapport complet : RAPPORT/rapport.pdf

Licence

MIT License - Ce projet est libre d'utilisation, modification et distribution.

Auteur

• Wade
• Dépôt : https://github.com/WADE57/projet-cpp
• Domaine : Master CSMI, M1, Formation en simulation numérique thermique