Add composable automaton DFA utilities

docs/dp/automaton/automaton.md

@@ -3,23 +3,133 @@ title: 決定性有限オートマトン(DFA, Deterministic Finite Automaton)
 documentation_of: //dp/automaton/automaton.hpp
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-桁DPとかをわりと簡潔(?)に解くための仕組み？データ構造？
+有限個の状態を `int` で管理する DFA。
 
-有限な状態数で、状態と入力が決まると次の状態も一意に決まりますよでおなじみの、決定性有限オートマトン(Deterministic Finite Automaton)を扱うことを考えている。
-決定性じゃない(状態と入力に対して、次の状態が複数考えられるような)場合は、遷移先を集合としてみて(?)bitDPをすると有限な場合に帰着できるらしいですよ。
+桁 DP などで、「上限以下」「余りが 0」「パターンを満たす」のような条件をそれぞれ DFA として書き、それらを積 DFA で合成して使うことを想定している。
 
-めちゃめちゃ参考にしました 1: [https://kuretchi.github.io/blog/entries/automaton-dp/](https://kuretchi.github.io/blog/entries/automaton-dp/)
+## 使い方の流れ
 
-めちゃめちゃ参考にしました 2: [https://shino16.github.io/blog/post/algo/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%B3/](https://shino16.github.io/blog/post/algo/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%B3/) 
-めちゃめちゃ参考にしました 3: [https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E6%9C%89%E9%99%90%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%B3](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E6%9C%89%E9%99%90%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%B3)
+1. 条件を 1 つずつ DFA として書く
+2. `AndDfa` や `ProductPolicyDfa` で条件を合成する
+3. `count_fixed_length` で長さ固定の列を全部流して数える
 
+「`0 <= x <= N` かつ `x` が条件を満たす数を数える」タイプの桁 DP では、`N` の桁数に合わせて 0 埋めした文字列を考える。
 
-定義は3に書いてある。 1は"~な数の個数"だけではなくて"~な数についてxxした総和"みたいなものも扱えることを取り上げている(実際、ジグザグ数の総和を(個数ではなく!!)求めている)が、ちょっとよくわからない部分も多い。
+```cpp
+vector<int> alphabet = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
 
-2は実装の参考になった。
+DfaPtr<int> less_equal = make_shared<DecimalLessEqualDfa>(N);
+DfaPtr<int> condition = make_shared<LeadingZeroSkipDfa<int>>(
+    make_shared<MyDecimalConditionDfa>());
 
-オートマトンで考えることの嬉しさは、状態の管理が比較的らくになったり、「２つのオートマトンが受理する文字列のみを受理するオートマトン」などを簡単に[^1]扱えるところにあるんじゃないか。
+DfaPtr<int> whole = make_shared<AndDfa<int>>(less_equal, condition);
+mint ans = count_fixed_length<mint>(*whole, alphabet, N.size());
+```
 
-Verify用の問題をどうすればいいかに悩んでいる。実装例があったほうがわかりやすいだろうし。AtCoderの問題をVerifyに使うにはDropboxのAPIキーがないといけないし、yukicoderは使ったことがないし、AOJにある問題はジグザグ数(苦行)しか知らない。
+`DecimalLessEqualDfa` は 0 埋めされた固定長文字列をそのまま `N` と比較する。
+一方で、通常の 10 進表記に対する条件 DFA は先頭 0 を読ませると意味が変わることがあるので、必要なら `LeadingZeroSkipDfa` で包む。
 
-[^1]: 要出典
+例: `N = "123"` のとき、DP は `"000"` から `"999"` までの長さ 3 の文字列を読む。
+`DecimalLessEqualDfa("123")` は `"007"` を 7 として `<= 123` と判定できる。
+`LeadingZeroSkipDfa` は内側の DFA に `"007"` を `"7"` として読ませる。
+
+## DFA の書き方
+
+```cpp
+template <typename Alphabet = int>
+struct Dfa {
+  virtual int state_count() const = 0;
+  virtual int initial_state() const = 0;
+  virtual int next_state(int state, Alphabet c) const = 0;
+  virtual bool accept(int state) const = 0;
+};
+```
+
+状態は `0, 1, ..., state_count() - 1` の整数にエンコードする。
+
+- `state_count()`: 状態数
+- `initial_state()`: 初期状態
+- `next_state(state, c)`: 状態 `state` で文字 `c` を読んだ後の状態
+- `accept(state)`: 最終状態 `state` を受理するか
+
+問題固有の条件はこの 4 つだけ実装すればよい。
+
+```cpp
+class Contains3Dfa : public Dfa<int> {
+public:
+  int state_count() const override { return 2; }
+  int initial_state() const override { return 0; }
+
+  int next_state(int state, int digit) const override {
+    return state || digit == 3;
+  }
+
+  bool accept(int state) const override {
+    return state == 1;
+  }
+};
+```
+
+## 合成
+
+- `AndDfa`: 2 つの DFA の両方が受理する文字列を受理する積 DFA
+- `ProductPolicyDfa`: 任意個の DFA を積にして、受理状態の真偽列から受理判定を決める DFA
+
+```cpp
+DfaPtr<int> a = make_shared<A>();
+DfaPtr<int> b = make_shared<B>();
+DfaPtr<int> both = make_shared<AndDfa<int>>(a, b);
+```
+
+「3 つの条件のうちちょうど 1 つを満たす」のような受理条件は `ProductPolicyDfa` を使う。
+
+```cpp
+vector<DfaPtr<int>> conditions = {a, b, c};
+
+DfaPtr<int> exactly_one = make_shared<ProductPolicyDfa<int>>(
+    conditions,
+    [](const vector<bool>& ok) {
+      int cnt = 0;
+      for(bool x : ok) if(x) cnt++;
+      return cnt == 1;
+    });
+```
+
+## 用意してある DFA / wrapper
+
+### `DecimalLessEqualDfa`
+
+固定長 0 埋め 10 進文字列として読んだ値が `N` 以下なら受理する。
+桁 DP の tight に相当する。
+
+```cpp
+DfaPtr<int> less_equal = make_shared<DecimalLessEqualDfa>(N);
+```
+
+### `LeadingZeroSkipDfa`
+
+先頭 0 を内側の DFA に流さない wrapper。
+全桁が 0 の場合は、内側の DFA に 0 を 1 回だけ読ませた状態で受理判定する。
+
+```cpp
+DfaPtr<int> normal_decimal_condition = make_shared<LeadingZeroSkipDfa<int>>(
+    make_shared<MyDecimalConditionDfa>());
+```
+
+`DecimalRemainderDfa` やジグザグ数 DFA のように「普通の 10 進表記」を読む DFA は、固定長 DP で使うとき基本的にこれで包む。
+
+## 数え上げ
+
+`count_fixed_length<T>(dfa, alphabet, length)` は、長さ `length` の列をすべて DFA に流し、受理されるものの個数を `T` で返す。
+`T` は `+=` と `T(0)`, `T(1)` が使えればよいので、`modint` を渡せる。
+
+```cpp
+mint ans = count_fixed_length<mint>(*dfa, alphabet, L);
+```
+
+## Verify
+
+- `test/verify/aoj-0570.test.cpp`
+
+AOJ 0570 は「`A <= x <= B`」「`x % M == 0`」「`x` がジグザグ数」の 3 条件を DFA として合成して解いている。
+区間 `[A, B]` は `count(<= B) - count(<= A - 1)` で処理している。

docs/dp/automaton/remainder.md

@@ -3,7 +3,25 @@ title : あまりを管理するオートマトン(remainder.hpp)
 documentation_of: //dp/automaton/remainder.hpp
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-これいるか？　nextは、数字の右側に桁を加えるような操作を考えている。 '998'に'2'を与えてnextすると'9982'に対応する状態が返ってくるイメージ。
-わざわざライブラリにするほどのものでもなくね？？？
-ライブラリにするほど複雑でもないから、1から書けばいいし、ライブラリにするなら「よく出るオートマトンは事前に書いておく」かつ「オートマトンのAND合成もライブラリにある」という状態が望ましいけど、
-AND合成のオートマトンは書くの難しいし、どうせなら2つだけじゃなくて任意個の合成もできたほうが便利だけどそれもやっぱり難しいしで、オートマトンをライブラリにして有効に使うのは難しそう。
+10 進表記を左から読んで、値の `mod` での余りを状態として持つ DFA。
+
+```cpp
+DecimalRemainderDfa dfa(mod);
+```
+
+状態数は `mod`。受理状態は余り `0`。
+
+```cpp
+int next_state(int state, int digit) {
+  return (state * 10 + digit) % mod;
+}
+```
+
+固定長 0 埋めの桁 DP で「通常の 10 進表記としての値」を扱いたい場合は、`LeadingZeroSkipDfa` で包む。
+
+```cpp
+DfaPtr<int> multiple_of_m = make_shared<LeadingZeroSkipDfa<int>>(
+    make_shared<DecimalRemainderDfa>(m));
+```
+
+余りだけなら先頭 0 を読んでも値は変わらないが、他の通常表記向け DFA と同じ形で合成できるので、桁 DP では包んでおくと扱いが揃う。