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<title>Polinômios em Machine Learning</title>
<link href="https://fonts.googleapis.com/css2?family=DM+Serif+Display:ital@0;1&family=IBM+Plex+Mono:wght@400;600&family=DM+Sans:wght@300;400;500;600&display=swap" rel="stylesheet">
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.hero-sub {
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.hero-formula {
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/* ── SECTIONS ── */
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font-family: 'DM Serif Display', serif;
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}
h3 {
font-family: 'DM Serif Display', serif;
font-size: 1.5rem;
margin-bottom: 12px;
}
p { color: var(--text-muted); margin-bottom: 16px; font-size: 1.02rem; }
p strong { color: var(--text); }
/* ── CARDS ── */
.card {
background: var(--surface);
border: 1px solid var(--border);
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transition: border-color 0.3s, box-shadow 0.3s;
}
.card:hover {
border-color: rgba(0,229,255,0.25);
box-shadow: var(--glow);
}
.grid-2 { display: grid; grid-template-columns: 1fr 1fr; gap: 20px; }
.grid-3 { display: grid; grid-template-columns: repeat(3, 1fr); gap: 20px; }
@media (max-width: 680px) {
.grid-2, .grid-3 { grid-template-columns: 1fr; }
}
/* ── FORMULA BLOCKS ── */
.formula-block {
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border: 1px solid rgba(0,229,255,0.12);
border-radius: 12px;
padding: 20px 24px;
font-family: 'IBM Plex Mono', monospace;
font-size: 0.95rem;
color: var(--accent);
margin: 20px 0;
line-height: 1.8;
overflow-x: auto;
}
.formula-block .comment {
color: var(--text-muted);
font-size: 0.82rem;
}
.formula-block .highlight { color: var(--gold); }
.formula-block .pink { color: #f472b6; }
.formula-block .green { color: #34d399; }
/* ── DEGREE CHIPS ── */
.chip {
display: inline-block;
padding: 4px 12px;
border-radius: 100px;
font-size: 0.78rem;
font-weight: 600;
font-family: 'IBM Plex Mono', monospace;
}
.chip-blue { background: rgba(0,229,255,0.12); color: var(--accent); border: 1px solid rgba(0,229,255,0.25); }
.chip-orange { background: rgba(255,107,53,0.12); color: var(--accent2); border: 1px solid rgba(255,107,53,0.25); }
.chip-purple { background: rgba(167,139,250,0.12); color: var(--accent3); border: 1px solid rgba(167,139,250,0.25); }
.chip-gold { background: rgba(251,191,36,0.12); color: var(--gold); border: 1px solid rgba(251,191,36,0.25); }
/* ── POLY DEGREE TABLE ── */
.degree-table { width: 100%; border-collapse: separate; border-spacing: 0 8px; }
.degree-table th {
font-family: 'IBM Plex Mono', monospace;
font-size: 0.72rem;
letter-spacing: 0.1em;
text-transform: uppercase;
color: var(--text-muted);
text-align: left;
padding: 0 16px 8px;
}
.degree-table td {
padding: 14px 16px;
background: var(--surface2);
font-size: 0.93rem;
}
.degree-table td:first-child { border-radius: 10px 0 0 10px; }
.degree-table td:last-child { border-radius: 0 10px 10px 0; }
.degree-table tr:hover td { background: rgba(0,229,255,0.05); }
/* ── DIVISION STEPS ── */
.steps { display: flex; flex-direction: column; gap: 16px; margin-top: 24px; }
.step {
display: flex;
gap: 20px;
align-items: flex-start;
padding: 20px 24px;
background: var(--surface2);
border-radius: 12px;
border-left: 3px solid transparent;
transition: border-color 0.3s;
}
.step:hover { border-left-color: var(--accent); }
.step-num {
font-family: 'IBM Plex Mono', monospace;
font-size: 1.4rem;
font-weight: 600;
color: var(--accent);
min-width: 32px;
line-height: 1;
}
.step-body h4 { font-size: 1rem; font-weight: 600; margin-bottom: 4px; }
.step-body p { font-size: 0.9rem; margin: 0; }
/* ── VISUAL POLYNOMIAL ── */
.poly-visual {
display: flex;
gap: 8px;
flex-wrap: wrap;
align-items: center;
margin: 24px 0;
}
.poly-term {
display: flex;
flex-direction: column;
align-items: center;
background: var(--surface2);
border: 1px solid var(--border);
border-radius: 10px;
padding: 14px 18px;
font-family: 'IBM Plex Mono', monospace;
transition: all 0.3s;
cursor: default;
}
.poly-term:hover {
transform: translateY(-4px);
border-color: var(--accent);
box-shadow: 0 8px 24px rgba(0,229,255,0.12);
}
.poly-term .term-expr { font-size: 1.1rem; color: var(--accent); font-weight: 600; }
.poly-term .term-label { font-size: 0.68rem; color: var(--text-muted); margin-top: 4px; letter-spacing: 0.05em; }
.poly-op { font-size: 1.5rem; color: var(--text-muted); padding: 0 4px; }
/* ── ML APPLICATIONS ── */
.app-card {
background: var(--surface);
border: 1px solid var(--border);
border-radius: 16px;
padding: 28px;
position: relative;
overflow: hidden;
}
.app-card::before {
content: '';
position: absolute;
top: 0; left: 0; right: 0;
height: 3px;
}
.app-card.blue::before { background: linear-gradient(90deg, var(--accent), transparent); }
.app-card.orange::before { background: linear-gradient(90deg, var(--accent2), transparent); }
.app-card.purple::before { background: linear-gradient(90deg, var(--accent3), transparent); }
.app-card.gold::before { background: linear-gradient(90deg, var(--gold), transparent); }
.app-icon {
width: 44px; height: 44px;
border-radius: 10px;
display: flex; align-items: center; justify-content: center;
font-size: 1.3rem;
margin-bottom: 16px;
}
.app-icon.blue { background: rgba(0,229,255,0.1); }
.app-icon.orange { background: rgba(255,107,53,0.1); }
.app-icon.purple { background: rgba(167,139,250,0.1); }
.app-icon.gold { background: rgba(251,191,36,0.1); }
/* ── CODE BLOCK ── */
.code-block {
background: #0d1117;
border: 1px solid rgba(255,255,255,0.06);
border-radius: 12px;
padding: 24px;
font-family: 'IBM Plex Mono', monospace;
font-size: 0.83rem;
line-height: 1.9;
overflow-x: auto;
margin: 20px 0;
position: relative;
}
.code-block::before {
content: 'Python';
position: absolute;
top: 12px; right: 16px;
font-size: 0.65rem;
letter-spacing: 0.1em;
color: var(--text-muted);
text-transform: uppercase;
}
.kw { color: #ff79c6; }
.fn { color: #50fa7b; }
.str { color: #f1fa8c; }
.cm { color: #6272a4; }
.nm { color: #bd93f9; }
.op { color: var(--accent); }
/* ── ALERT BOX ── */
.alert {
border-radius: 12px;
padding: 20px 24px;
margin: 24px 0;
display: flex;
gap: 16px;
align-items: flex-start;
}
.alert-info { background: rgba(0,229,255,0.06); border: 1px solid rgba(0,229,255,0.2); }
.alert-warn { background: rgba(251,191,36,0.06); border: 1px solid rgba(251,191,36,0.2); }
.alert-icon { font-size: 1.2rem; }
.alert-body { flex: 1; }
.alert-body strong { display: block; margin-bottom: 4px; font-size: 0.93rem; }
.alert-body p { font-size: 0.88rem; margin: 0; }
/* ── SUMMARY ── */
.summary-grid {
display: grid;
grid-template-columns: repeat(3, 1fr);
gap: 16px;
margin-top: 32px;
}
@media (max-width: 680px) {
.summary-grid { grid-template-columns: 1fr; }
}
.summary-item {
text-align: center;
padding: 28px 16px;
background: var(--surface2);
border-radius: 14px;
border: 1px solid var(--border);
}
.summary-item .big {
font-family: 'DM Serif Display', serif;
font-size: 2.5rem;
background: linear-gradient(135deg, var(--accent), var(--accent3));
-webkit-background-clip: text;
-webkit-text-fill-color: transparent;
background-clip: text;
display: block;
margin-bottom: 8px;
}
.summary-item p { font-size: 0.88rem; margin: 0; }
/* ── ANIMATIONS ── */
@keyframes fadeDown {
from { opacity: 0; transform: translateY(-16px); }
to { opacity: 1; transform: translateY(0); }
}
.reveal {
opacity: 0;
transform: translateY(24px);
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}
.reveal.visible {
opacity: 1;
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}
/* ── NAV ── */
nav {
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top: 0; left: 0; right: 0;
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/* ── DIVIDER ── */
.divider { width: 60px; height: 3px; border-radius: 2px; margin-bottom: 32px; }
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/* ── COMPARISON TABLE ── */
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.compare-table th {
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.compare-table tr:last-child td { border-bottom: none; }
.compare-table tr:hover td { background: rgba(0,229,255,0.03); }
/* long division visual */
.long-div-wrap {
background: var(--surface2);
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.ld-top { border-bottom: 2px solid var(--text-muted); padding-bottom: 4px; display: inline-block; }
.ld-line { border-bottom: 1px solid rgba(255,255,255,0.15); }
.ld-minus { color: var(--accent2); }
.ld-result { color: var(--gold); }
.ld-divisor { color: var(--accent3); }
.ld-rem { color: var(--accent2); }
</style>
</head>
<body>
<nav>
<span class="nav-logo">∑ Polinômios & ML</span>
<ul class="nav-links">
<li><a href="#fundamentos">Fundamentos</a></li>
<li><a href="#divisao">Divisão</a></li>
<li><a href="#ml">Em ML</a></li>
<li><a href="#codigo">Código</a></li>
</ul>
</nav>
<!-- ══════════════ HERO ══════════════ -->
<div class="hero">
<div class="container">
<div class="hero-badge">Aula de Graduação · Álgebra & Machine Learning</div>
<h1>Polinômios &<br><span>Machine Learning</span></h1>
<p class="hero-sub">Do conceito matemático à regressão polinomial — como funções algébricas fundamentais impulsionam modelos inteligentes.</p>
<div class="hero-formula">f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀</div>
<div class="scroll-hint">
<span>Role para explorar</span>
<svg width="20" height="20" fill="none" viewBox="0 0 24 24">
<path stroke="#64748b" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="2" d="M19 9l-7 7-7-7"/>
</svg>
</div>
</div>
</div>
<!-- ══════════════ FUNDAMENTOS ══════════════ -->
<section id="fundamentos">
<div class="container">
<div class="reveal">
<div class="section-label">01 · Fundamentos</div>
<h2>O que é um Polinômio?</h2>
<div class="divider divider-blue"></div>
<p>Um <strong>polinômio</strong> é uma expressão matemática formada pela soma de termos, onde cada termo é o produto de uma constante (chamada <em>coeficiente</em>) por uma ou mais variáveis elevadas a um expoente <strong>inteiro não-negativo</strong>.</p>
<p>É uma das estruturas mais fundamentais da álgebra — e, como veremos, também da inteligência artificial.</p>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 40px;">
<h3>Anatomia de um Polinômio</h3>
<div class="poly-visual">
<div class="poly-term">
<span class="term-expr">3x²</span>
<span class="term-label">grau 2</span>
</div>
<span class="poly-op">+</span>
<div class="poly-term">
<span class="term-expr">−5x</span>
<span class="term-label">grau 1</span>
</div>
<span class="poly-op">+</span>
<div class="poly-term">
<span class="term-expr">7</span>
<span class="term-label">constante</span>
</div>
</div>
<p style="font-size:0.88rem;">↑ Passe o mouse sobre cada termo para inspecioná-lo</p>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 48px;">
<h3>Graus e seus nomes</h3>
<table class="degree-table" style="margin-top: 16px;">
<thead>
<tr>
<th>Grau</th>
<th>Nome</th>
<th>Exemplo</th>
<th>Forma geral</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><span class="chip chip-blue">0</span></td>
<td>Constante</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--accent);">7</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--text-muted);">a</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-orange">1</span></td>
<td>Linear</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--accent);">2x + 3</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--text-muted);">ax + b</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-purple">2</span></td>
<td>Quadrático</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--accent);">x² − 4x + 1</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--text-muted);">ax² + bx + c</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-gold">3</span></td>
<td>Cúbico</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--accent);">x³ + 2x</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--text-muted);">ax³ + bx² + cx + d</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-blue">n</span></td>
<td>Grau n</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--accent);">aₙxⁿ + …</td>
<td style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace; color: var(--text-muted);">Geral</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 48px;">
<div class="grid-2">
<div class="card">
<h3 style="margin-bottom:16px;">Operações básicas</h3>
<p><strong>Soma:</strong> Some coeficientes de mesmos graus</p>
<div class="formula-block">
(3x² + 2x + 1) + (x² − x + 4)<br>
<span class="highlight">= 4x² + x + 5</span>
</div>
<p><strong>Produto:</strong> Distribua cada termo</p>
<div class="formula-block">
(x + 2)(x − 3)<br>
<span class="highlight">= x² − 3x + 2x − 6</span><br>
<span class="highlight">= x² − x − 6</span>
</div>
</div>
<div class="card">
<h3 style="margin-bottom:16px;">Propriedades-chave</h3>
<p style="margin-bottom:12px;">✦ <strong>Grau do produto:</strong> soma dos graus</p>
<p style="margin-bottom:12px;">✦ <strong>Teorema Fundamental:</strong> um polinômio de grau n tem exatamente n raízes (complexas)</p>
<p style="margin-bottom:12px;">✦ <strong>Continuidade:</strong> polinômios são contínuos e diferenciáveis em ℝ</p>
<p>✦ <strong>Teorema de Weierstrass:</strong> qualquer função contínua pode ser aproximada por polinômios — base teórica do ML!</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
</section>
<!-- ══════════════ DIVISÃO ══════════════ -->
<section id="divisao">
<div class="container">
<div class="reveal">
<div class="section-label">02 · Divisão Polinomial</div>
<h2>Como dividir Polinômios?</h2>
<div class="divider divider-orange"></div>
<p>A divisão de polinômios segue o mesmo raciocínio da divisão de inteiros: dado um <strong>dividendo</strong> e um <strong>divisor</strong>, encontramos um <strong>quociente</strong> e um <strong>resto</strong>.</p>
</div>
<div class="reveal">
<div class="formula-block">
<span class="comment">// Algoritmo da divisão</span><br>
Dividendo(x) = Divisor(x) · <span class="highlight">Quociente(x)</span> + <span class="pink">Resto(x)</span>
</div>
<p style="font-size:0.9rem;">O grau do <span style="color:var(--accent2)">Resto</span> é sempre <em>menor</em> que o grau do Divisor — assim como na divisão de inteiros.</p>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 40px;">
<h3>Exemplo passo a passo</h3>
<p>Vamos dividir <strong style="color:var(--accent)">2x³ − 3x² + x − 5</strong> por <strong style="color:var(--accent3)">x − 2</strong></p>
<div class="long-div-wrap" style="margin-top:24px;">
<div style="margin-bottom:8px;">
<span class="ld-divisor">(x − 2)</span> ÷ dividendo:
<span style="color:var(--accent)">2x³ − 3x² + x − 5</span>
</div>
<div style="height:1px; background:rgba(255,255,255,0.15); margin:8px 0;"></div>
<div><span class="ld-result">Passo 1:</span> 2x³ ÷ x = <span class="ld-result">2x²</span></div>
<div><span class="ld-minus"> −(2x³ − 4x²)</span> → resta: x² + x − 5</div>
<div style="height:1px; background:rgba(255,255,255,0.08); margin:8px 0;"></div>
<div><span class="ld-result">Passo 2:</span> x² ÷ x = <span class="ld-result">x</span></div>
<div><span class="ld-minus"> −(x² − 2x)</span> → resta: 3x − 5</div>
<div style="height:1px; background:rgba(255,255,255,0.08); margin:8px 0;"></div>
<div><span class="ld-result">Passo 3:</span> 3x ÷ x = <span class="ld-result">3</span></div>
<div><span class="ld-minus"> −(3x − 6)</span> → resta: <span class="ld-rem">1</span></div>
<div style="height:1px; background:rgba(255,255,255,0.15); margin:12px 0;"></div>
<div>Resultado: <span class="ld-result">2x² + x + 3</span> com resto <span class="ld-rem">1</span></div>
<div style="margin-top:8px; color: var(--text-muted); font-size:0.85rem;">
Verificação: (x−2)(2x²+x+3) + 1 = 2x³ − 3x² + x − 5 ✓
</div>
</div>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 48px;">
<h3>Métodos de Divisão</h3>
<div class="steps">
<div class="step">
<div class="step-num">01</div>
<div class="step-body">
<h4>Divisão Longa (Algoritmo de Euclides para Polinômios)</h4>
<p>Método geral: divide-se o termo líder do dividendo pelo termo líder do divisor, multiplica-se, subtrai-se e repete. Funciona para qualquer par de polinômios. É o mais didático.</p>
</div>
</div>
<div class="step">
<div class="step-num">02</div>
<div class="step-body">
<h4>Dispositivo de Briot-Ruffini (divisão sintética)</h4>
<p>Atalho eficiente quando o divisor é da forma <span style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace;color:var(--accent);">(x − c)</span>. Usa apenas os coeficientes, reduzindo o trabalho manual drasticamente. Muito usado em análise numérica.</p>
</div>
</div>
<div class="step">
<div class="step-num">03</div>
<div class="step-body">
<h4>Teorema do Resto</h4>
<p>O resto da divisão de <span style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace;color:var(--accent);">p(x)</span> por <span style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace;color:var(--accent);">(x − c)</span> é simplesmente <span style="font-family:'IBM Plex Mono',monospace;color:var(--gold);">p(c)</span>. Extremamente útil para encontrar raízes e fatorar — conceito direto em algoritmos de interpolação.</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top:32px;">
<div class="alert alert-info">
<div class="alert-icon">💡</div>
<div class="alert-body">
<strong>Conexão com ML</strong>
<p>A divisão polinomial fundamenta a <strong>interpolação</strong> e a <strong>aproximação de funções</strong> — dois pilares usados em regressão, splines e redes neurais de ativação polinomial.</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
</section>
<!-- ══════════════ ML ══════════════ -->
<section id="ml">
<div class="container">
<div class="reveal">
<div class="section-label">03 · Aplicações em ML</div>
<h2>Polinômios no<br>Machine Learning</h2>
<div class="divider divider-purple"></div>
<p>Polinômios aparecem de forma direta e indireta em diversos algoritmos de ML. A seguir, as quatro aplicações mais importantes que você encontrará na prática.</p>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 40px;">
<div class="grid-2">
<div class="app-card blue">
<div class="app-icon blue">📈</div>
<h3>Regressão Polinomial</h3>
<p>Extensão da regressão linear que ajusta uma curva polinomial aos dados. O modelo aprende os coeficientes <strong>a₀, a₁, …, aₙ</strong> que minimizam o erro quadrático.</p>
<div class="formula-block" style="font-size:0.82rem;">
ŷ = <span class="highlight">θ₀</span> + <span class="highlight">θ₁</span>x + <span class="highlight">θ₂</span>x² + … + <span class="highlight">θₙ</span>xⁿ
</div>
<p style="font-size:0.85rem;">Usado quando a relação entre features e target é <strong>não-linear</strong> mas ainda estruturada.</p>
<span class="chip chip-blue">sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures</span>
</div>
<div class="app-card orange">
<div class="app-icon orange">🎯</div>
<h3>Interpolação & Splines</h3>
<p>Splines são polinômios de baixo grau colados em "peças" que interpolam dados com suavidade. Usados em pré-processamento, imputação e reconstrução de sinais.</p>
<div class="formula-block" style="font-size:0.82rem;">
<span class="green">S(x)</span> = Sᵢ(x), <span class="comment">para x ∈ [xᵢ, xᵢ₊₁]</span><br>
<span class="comment">// cada Sᵢ é um polinômio cúbico</span>
</div>
<p style="font-size:0.85rem;">A divisão polinomial é usada para calcular os <strong>coeficientes de cada segmento</strong>.</p>
<span class="chip chip-orange">scipy.interpolate.CubicSpline</span>
</div>
<div class="app-card purple">
<div class="app-icon purple">⚙️</div>
<h3>Kernel Polinomial (SVM)</h3>
<p>Em Support Vector Machines, o <strong>kernel polinomial</strong> mapeia dados para um espaço de maior dimensão sem calcular explicitamente a transformação — usando apenas produtos internos.</p>
<div class="formula-block" style="font-size:0.82rem;">
K(x, y) = <span class="highlight">(xᵀy + c)ᵈ</span><br>
<span class="comment">// d = grau, c = bias</span>
</div>
<p style="font-size:0.85rem;">Permite separar classes <strong>não-linearmente separáveis</strong> com custo computacional controlado.</p>
<span class="chip chip-purple">SVC(kernel='poly')</span>
</div>
<div class="app-card gold">
<div class="app-icon gold">🧠</div>
<h3>Funções de Ativação & Aproximação</h3>
<p>Pelo <strong>Teorema Universal de Aproximação</strong>, redes neurais podem aproximar qualquer função contínua — e polinômios são a base teórica dessa capacidade.</p>
<div class="formula-block" style="font-size:0.82rem;">
<span class="comment">// Expansão de Taylor da sigmoide:</span><br>
σ(x) ≈ 0.5 + <span class="highlight">0.25x</span> − <span class="highlight">0.02x³</span> + …
</div>
<p style="font-size:0.85rem;">Ativações como GELU e Swish são <strong>aproximadas por polinômios</strong> para acelerar inferência em hardware.</p>
<span class="chip chip-gold">torch.nn.GELU / Polynomial Activation</span>
</div>
</div>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 56px;">
<h3>Overfitting: o perigo dos graus altos</h3>
<p>Aumentar o grau do polinômio aumenta a <strong>flexibilidade do modelo</strong>, mas pode levar ao <em>overfitting</em> — o modelo decora os dados de treino mas generaliza mal.</p>
<div style="overflow-x:auto; margin-top: 20px;">
<table class="compare-table">
<thead>
<tr>
<th>Grau</th>
<th>Viés</th>
<th>Variância</th>
<th>Comportamento</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><span class="chip chip-blue">1</span></td>
<td style="color:#f87171;">Alto</td>
<td style="color:#34d399;">Baixa</td>
<td>Underfitting — muito simples</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-orange">2–4</span></td>
<td style="color:#34d399;">Médio</td>
<td style="color:#34d399;">Média</td>
<td style="color:#34d399;">✓ Ideal para muitos casos</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-gold">5–8</span></td>
<td style="color:#fbbf24;">Baixo</td>
<td style="color:#f87171;">Alta</td>
<td>Começa a overfitar</td>
</tr>
<tr>
<td><span class="chip chip-purple">9+</span></td>
<td style="color:#34d399;">Muito baixo</td>
<td style="color:#f87171;">Muito alta</td>
<td style="color:#f87171;">Overfitting severo</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div class="alert alert-warn" style="margin-top: 24px;">
<div class="alert-icon">⚠️</div>
<div class="alert-body">
<strong>Regularização é a solução</strong>
<p>Ridge (L2) e Lasso (L1) adicionam penalidades aos coeficientes, forçando o modelo a usar polinômios de menor grau efetivo mesmo que um grau alto seja especificado.</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
</section>
<!-- ══════════════ CÓDIGO ══════════════ -->
<section id="codigo">
<div class="container">
<div class="reveal">
<div class="section-label">04 · Na Prática</div>
<h2>Implementação em Python</h2>
<div class="divider divider-blue"></div>
<p>Veja como aplicar regressão polinomial com <strong>scikit-learn</strong> e como realizar divisão polinomial com <strong>NumPy</strong>.</p>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 32px;">
<h3>1. Divisão Polinomial com NumPy</h3>
<div class="code-block">
<span class="kw">import</span> numpy <span class="kw">as</span> np
<span class="cm"># Polinômio: 2x³ − 3x² + x − 5 → coeficientes [2, -3, 1, -5]</span>
dividendo = [<span class="nm">2</span>, <span class="nm">-3</span>, <span class="nm">1</span>, <span class="nm">-5</span>]
divisor = [<span class="nm">1</span>, <span class="nm">-2</span>] <span class="cm"># (x − 2)</span>
quociente, resto = np.<span class="fn">polydiv</span>(dividendo, divisor)
<span class="fn">print</span>(<span class="str">f"Quociente: {quociente}"</span>) <span class="cm"># [2. 1. 3.] → 2x² + x + 3</span>
<span class="fn">print</span>(<span class="str">f"Resto: {resto}"</span>) <span class="cm"># [1.] → 1</span>
<span class="cm"># Teorema do Resto: p(c) = resto quando se divide por (x - c)</span>
p = np.<span class="fn">poly1d</span>(dividendo)
<span class="fn">print</span>(<span class="str">f"p(2) = {p(2)}"</span>) <span class="cm"># 1.0 ✓</span>
</div>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 32px;">
<h3>2. Regressão Polinomial com scikit-learn</h3>
<div class="code-block">
<span class="kw">import</span> numpy <span class="kw">as</span> np
<span class="kw">from</span> sklearn.preprocessing <span class="kw">import</span> PolynomialFeatures
<span class="kw">from</span> sklearn.linear_model <span class="kw">import</span> Ridge
<span class="kw">from</span> sklearn.pipeline <span class="kw">import</span> make_pipeline
<span class="kw">from</span> sklearn.model_selection <span class="kw">import</span> cross_val_score
<span class="cm"># Dados de exemplo (não-lineares)</span>
X = np.<span class="fn">linspace</span>(<span class="nm">0</span>, <span class="nm">10</span>, <span class="nm">100</span>).<span class="fn">reshape</span>(<span class="nm">-1</span>, <span class="nm">1</span>)
y = <span class="nm">2</span>*X**<span class="nm">2</span> - <span class="nm">3</span>*X + <span class="nm">1</span> + np.random.<span class="fn">randn</span>(<span class="nm">100</span>, <span class="nm">1</span>)*<span class="nm">5</span>
<span class="cm"># Pipeline: transformação → regularização</span>
modelo = <span class="fn">make_pipeline</span>(
<span class="fn">PolynomialFeatures</span>(degree=<span class="nm">2</span>, include_bias=<span class="kw">False</span>),
<span class="fn">Ridge</span>(alpha=<span class="nm">0.1</span>) <span class="cm"># L2 regularização</span>
)
modelo.<span class="fn">fit</span>(X, y)
<span class="cm"># Cross-validation para avaliar generalização</span>
scores = <span class="fn">cross_val_score</span>(modelo, X, y, cv=<span class="nm">5</span>, scoring=<span class="str">'r2'</span>)
<span class="fn">print</span>(<span class="str">f"R² médio: {scores.mean():.3f} ± {scores.std():.3f}"</span>)
<span class="cm"># Coeficientes aprendidos pelo modelo</span>
coef = modelo.<span class="fn">named_steps</span>[<span class="str">'ridge'</span>].coef_
<span class="fn">print</span>(<span class="str">f"θ₁={coef[0][0]:.2f}, θ₂={coef[0][1]:.2f}"</span>)
</div>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 32px;">
<h3>3. Kernel SVM Polinomial</h3>
<div class="code-block">
<span class="kw">from</span> sklearn.svm <span class="kw">import</span> SVC
<span class="kw">from</span> sklearn.datasets <span class="kw">import</span> make_circles
<span class="cm"># Dados circulares — linearmente não separáveis</span>
X, y = <span class="fn">make_circles</span>(n_samples=<span class="nm">200</span>, noise=<span class="nm">0.1</span>, factor=<span class="nm">0.3</span>)
<span class="cm"># SVM com kernel polinomial K(x,y) = (x·y + 1)^d</span>
svm = <span class="fn">SVC</span>(kernel=<span class="str">'poly'</span>, degree=<span class="nm">3</span>, coef0=<span class="nm">1</span>, C=<span class="nm">1.0</span>)
svm.<span class="fn">fit</span>(X, y)
<span class="fn">print</span>(<span class="str">f"Acurácia: {svm.score(X, y):.2%}"</span>)
<span class="cm"># O kernel eleva o espaço para grau 3 implicitamente</span>
<span class="cm"># sem calcular as (n+d)!/(n!d!) features explicitamente</span>
</div>
</div>
</div>
</section>
<!-- ══════════════ RESUMO ══════════════ -->
<section style="border-bottom: 1px solid var(--border);">
<div class="container">
<div class="reveal">
<div class="section-label">05 · Síntese</div>
<h2>Pontos-chave para levar</h2>
<div class="divider divider-purple"></div>
</div>
<div class="summary-grid reveal">
<div class="summary-item">
<span class="big">∞</span>
<p><strong>Teorema de Weierstrass</strong><br>Qualquer função contínua pode ser aproximada por polinômios — a promessa teórica do ML</p>
</div>
<div class="summary-item">
<span class="big">÷</span>
<p><strong>Divisão = Interpolação</strong><br>Briot-Ruffini e o Teorema do Resto são a base dos algoritmos de ajuste de curvas</p>
</div>
<div class="summary-item">
<span class="big">⚖️</span>
<p><strong>Grau vs. Generalização</strong><br>Grau alto → mais flexível, mas regularização (Ridge/Lasso) é necessária para evitar overfitting</p>
</div>
</div>
<div class="reveal" style="margin-top: 48px;">
<div class="grid-3">
<div class="card">
<div style="font-size: 1.8rem; margin-bottom: 12px;">📐</div>
<h3 style="font-size:1.1rem; margin-bottom: 8px;">Regressão Polinomial</h3>
<p style="font-size:0.85rem;">PolynomialFeatures + LinearRegression. Ideal para séries temporais e dados com tendência não-linear suave.</p>
</div>
<div class="card">
<div style="font-size: 1.8rem; margin-bottom: 12px;">🔷</div>
<h3 style="font-size:1.1rem; margin-bottom: 8px;">Kernel Polinomial</h3>
<p style="font-size:0.85rem;">SVM com K(x,y)=(xᵀy+c)ᵈ. Excelente para NLP (bag-of-words) e classificação de imagens de baixa dimensão.</p>
</div>
<div class="card">
<div style="font-size: 1.8rem; margin-bottom: 12px;">〰️</div>
<h3 style="font-size:1.1rem; margin-bottom: 8px;">Splines</h3>