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<h1>Inspektionsparadox — <em>warum du fast immer im langen Intervall landest</em></h1>
<span style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.7rem;color:var(--ink3);white-space:nowrap">Dr. R. Düsing · Universität Osnabrück</span>
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<div class="slider-row" style="margin-bottom:.2rem">
<div class="slider-lbl"><span class="slider-name">Streuung (CV)</span><span class="slider-val" id="v-spread">0.60</span></div>
<input type="range" class="acc-s" id="s-spread" min="0" max="1" step="0.05" value="0.6">
</div>
<div class="hint" style="border-top:none;padding-top:.3rem;margin-bottom:0">0 = exakter Takt (alle Lücken gleich, kein Paradox). 1 = völlig zufällig (Poisson) — maximaler Effekt.</div>
</div>
<div class="scard">
<div class="scard-title">Anzahl Busse</div>
<div class="slider-row" style="margin-bottom:0">
<div class="slider-lbl"><span class="slider-name">n</span><span class="slider-val" id="v-n">14</span></div>
<input type="range" id="s-n" min="6" max="30" step="1" value="14">
</div>
</div>
<div class="scard">
<div class="scard-title">Fahrplan</div>
<button class="mbtn full" onclick="regen()">🎲 Neue Fahrplan-Lage</button>
<div class="hint" style="margin-bottom:0">Mittlerer Soll-Abstand fest bei <strong>10 min</strong>; nur die Verteilung der Lücken ändert sich.</div>
</div>
</div><!-- #sidebar -->
<!-- ══ MAIN ═════════════════════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="main">
<div class="story-box">
<div class="story-lbl">🚌 Worum geht's</div>
Ein Bus fährt im Schnitt alle <strong>10 Minuten</strong> — mal nach 4, mal nach 18 Minuten. Der Betreiber sagt
stolz: „mittlerer Abstand 10 min, mittlere Wartezeit also 5 min." Du als Fahrgast kommst aber zu einer
<em>zufälligen</em> Zeit an die Haltestelle und wartest gefühlt <em>immer</em> länger. <strong>Wer hat recht — der
Betreiber oder du?</strong>
</div>
<div class="pred" id="pred">
<div class="pred-q"><strong>Deine Vorhersage:</strong> Die Lücke, in der du landest, ist im Schnitt …</div>
<div class="pred-row">
<button class="pred-btn" onclick="predict('short')">kürzer als 10 min</button>
<button class="pred-btn" onclick="predict('equal')">etwa 10 min</button>
<button class="pred-btn" onclick="predict('long')">länger als 10 min</button>
</div>
<div class="pred-fb" id="pred-fb"></div>
</div>
<div class="lock-card" id="reveal-locked">🔒 Erst tippen, dann aufdecken — wähle oben eine Vorhersage, um Verdict, Kennzahlen und das Häufigkeitsdiagramm zu sehen.</div>
<div class="plot-box">
<div class="plot-title"><span class="circ">①</span> Der Fahrplan als Zeitstrahl — wo landen die Ankünfte?</div>
<canvas id="cv-line" height="150"></canvas>
<div class="hint" id="hint-line">Senkrechte Striche = Busse, Bänder dazwischen = Lücken (länger = breiter). Dreiecke = deine zufälligen Ankünfte; die zuletzt getroffene Lücke ist hervorgehoben.</div>
</div>
<div id="reveal-wrap" class="locked">
<div class="verdict" id="verdict">—</div>
<div class="plot-box">
<div class="plot-title"><span class="circ">②</span> Jetzt selbst ausprobieren — zufällig ankommen</div>
<div class="hint" style="border-top:none;padding-top:0;margin-top:0;margin-bottom:.6rem">Komm mehrfach zu einem zufälligen Zeitpunkt an der Haltestelle an und beobachte, wie sich „Dein Schnitt" mit jedem Wurf dem wahren Erwartungswert annähert.</div>
<div class="arrive-btns">
<button class="mbtn" onclick="arrive(1)">🚶 1×</button>
<button class="mbtn" onclick="arrive(200)">🚶 200×</button>
<button class="mbtn" onclick="resetDarts()">⟲ Zurücksetzen</button>
</div>
<div id="dart-last">Noch keine Ankunft. Komm zu einer zufälligen Zeit an die Haltestelle — in welcher Lücke landest du?</div>
</div>
<div class="metric-grid">
<div class="metric">
<div class="metric-lbl">Soll-Abstand E[L]<br>(Betreiber)</div>
<div class="metric-val" id="m-mean" style="color:var(--a2)">—</div>
<div class="metric-sub">Ø aller Lücken</div>
</div>
<div class="metric">
<div class="metric-lbl">Erlebter Abstand<br>(Fahrgast)</div>
<div class="metric-val" id="m-exp" style="color:var(--a5)">—</div>
<div class="metric-sub">E[L²]/E[L]</div>
</div>
<div class="metric">
<div class="metric-lbl">Wartezeit naiv</div>
<div class="metric-val" id="m-wn">—</div>
<div class="metric-sub">E[L]/2</div>
</div>
<div class="metric">
<div class="metric-lbl">Wartezeit echt</div>
<div class="metric-val" id="m-we" style="color:var(--a1)">—</div>
<div class="metric-sub">E[L²]/(2·E[L])</div>
</div>
</div>
<div class="plot-box">
<div class="plot-title"><span class="circ">③</span> Verteilung der Lücken: gezählt vs. erlebt</div>
<canvas id="cv-hist" height="270"></canvas>
<div class="hint">Blau = jede Lücke zählt <strong>einmal</strong> (Betreibersicht). Orange = jede Lücke nach ihrer <strong>Länge</strong> gewichtet (Fahrgastsicht) — dieselben Lücken, aber nach rechts verschoben. Senkrechte Linien = die beiden Mittelwerte.</div>
</div>
</div>
<div class="sec-h">Konzepte</div>
<div class="lcard-grid">
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="circ">①</span> Die Symbole — was steht wofür?</div>
<div class="lcard-body">In den Formeln unten kommen immer dieselben paar Größen vor. <strong>L₁, L₂, … Lₙ</strong> sind
die einzelnen Lücken zwischen den Bussen (n Stück). <strong>T = L₁+L₂+…+Lₙ</strong> ist die gesamte Fahrplan-Zeit.
<strong>E[L]</strong> ist der ganz normale Mittelwert aller Lücken — das, was der Betreiber „Soll-Abstand" nennt.
<strong>E[L²]</strong> ist der Mittelwert der <em>quadrierten</em> Lücken — er taucht gleich auf, weil lange Lücken
dabei überproportional stark ins Gewicht fallen. <strong>Var(L) = E[L²] − E[L]²</strong> misst, wie stark die
Lücken streuen. Mehr braucht es nicht — alles unten baut nur auf diesen vier Größen auf.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="circ">②</span> Welche Lücke triffst du überhaupt?</div>
<div class="lcard-body">Du kommst zu einem <em>zufälligen Zeitpunkt</em> zwischen 0 und T an — nicht zu einer zufälligen
Lücken-Nummer. Eine Lücke der Länge L nimmt den Anteil <strong>L/T</strong> der gesamten Fahrplanzeit ein, also gilt:
<code>P(du landest in dieser Lücke) = L/T</code>
Eine 12-Minuten-Lücke wird dadurch sechsmal so oft getroffen wie eine 2-Minuten-Lücke — obwohl der Betreiber beide
beim Berechnen seines Mittelwerts völlig gleich zählt (jede einmal).</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="circ">③</span> Wo in der Lücke landest du?</div>
<div class="lcard-body">Angenommen, du bist in einer Lücke der Länge L gelandet — <em>wo</em> genau darin, ist
gleichverteilt. Mal stehst du ganz am Anfang (fast die volle Lücke Wartezeit), mal kurz vor dem nächsten Bus (fast
keine). Über viele Ankünfte in gleich lange Lücken gemittelt, liegt die Restwartezeit im Schnitt bei <strong>L/2</strong>.
Landest du z. B. bei Minute 8 von 12, wartest du nur 4 Minuten — das widerspricht L/2 = 6 nicht, es ist einfach ein
einzelner Wurf aus genau dieser Streuung.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="circ">④</span> Beide Effekte kombiniert — die Formel</div>
<div class="lcard-body">Die Wartezeit gewichtet jede Lücke mit ihrer Trefferwahrscheinlichkeit aus <span class="circ">②</span> und multipliziert
mit der mittleren Restwartezeit aus <span class="circ">③</span>:
<code>E[Wartezeit] = Σᵢ (Lᵢ/T) · (Lᵢ/2) = E[L²] / (2·E[L])</code>
Genauso entsteht die „erlebte Lücke" — statt wie der Betreiber jede Lücke mit 1 zu gewichten, gewichtet man sie mit
ihrer eigenen Länge:
<code>E[erlebte Lücke] = Σᵢ Lᵢ·(Lᵢ/T) = E[L²]/E[L] = E[L] + Var(L)/E[L]</code>
Die letzte Umformung zeigt direkt: ohne Streuung (Var = 0) verschwindet der ganze Effekt.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="circ">⑤</span> Mehr Streuung ⇒ größerer Effekt</div>
<div class="lcard-body">Der Aufschlag in der Formel oben ist genau <strong>Var(L)/E[L]</strong>. Bei exaktem Takt
(Var = 0) gibt es also kein Paradox. Bei rein zufälligen (Poisson-)Ankünften ist Var = E[L]² — dann ist die erlebte
Lücke <strong>doppelt</strong> so lang wie E[L], und die Wartezeit entspricht dem <em>ganzen</em> mittleren Abstand
statt der Hälfte.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="circ">⑥</span> Durchgerechnetes Beispiel</div>
<div class="lcard-body">Vier Lücken: 2, 4, 6, 12 Minuten (Summe T = 24, Betreiber-Mittelwert E[L] = 6 min).
<table>
<thead><tr><th>Lücke L</th><th>Anteil an n</th><th>Trefferw. L/T</th><th>Ø Rest L/2</th></tr></thead>
<tbody>
<tr><td>2 min</td><td>25 %</td><td>8 %</td><td>1 min</td></tr>
<tr><td>4 min</td><td>25 %</td><td>17 %</td><td>2 min</td></tr>
<tr><td>6 min</td><td>25 %</td><td>25 %</td><td>3 min</td></tr>
<tr><td>12 min</td><td>25 %</td><td><strong>50 %</strong></td><td>6 min</td></tr>
</tbody>
</table>
Der Betreiber zählt jede Lücke gleich (Spalte „Anteil an n"). Du triffst sie aber ∝ Länge (Spalte „Trefferw.") — die
12-min-Lücke also in der <strong>Hälfte</strong> aller Fälle, obwohl sie nur 1 von 4 Lücken ist. Erlebte Lücke:
E[L²]/E[L] = (4+16+36+144)/4 / 6 = 50/6 ≈ <strong>8,3 min</strong>. Echte Wartezeit: E[L²]/(2·E[L]) = 50/12 ≈
<strong>4,2 min</strong> statt naiv 3 min — nicht weil du in der 12-min-Lücke immer bis zum Schluss wartest (dort
sind es im Schnitt auch nur 6 min), sondern weil du so oft überhaupt dort landest.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Verwandte Phänomene & Tools</div>
<div class="lcard-body">Dieselbe Mathematik taucht überall auf, wo man Zustände proportional zu ihrer Dauer oder Größe
beobachtet, statt sie einzeln gleich zu zählen: das <strong>Klassengrößen-Paradox</strong> (Studierende erleben im
Schnitt größere Kurse als die Uni meldet — weil mehr Studierende in großen Kursen sitzen), ausgelastet wirkende
Server, Restaurants oder Autobahnen, und <strong>Length-biased Sampling</strong> in Überlebens-/Screening-Studien
(zu einem Stichtag „anwesende" Fälle haben überlange Verläufe — korrigierbar durch Gewichtung mit 1/L, wenn man den
Bias kennt). Eng verwandt: der <strong>Friendship Paradox</strong> — dieselbe Formel E[k²]/E[k], nur für
Netzwerk-Kontakte statt Zeitintervalle.
<a class="xlink" href="Friendship_Paradox.html" target="_blank">→ Friendship Paradox</a>
<a class="xlink" href="Survivorship_Bias.html" target="_blank">→ Survivorship Bias</a></div>
</div>
</div>
</div><!-- #main -->
</div><!-- #app -->
<!-- ══ HELP ══════════════════════════════════════════════════════════════════ -->
<div class="help-overlay" id="help-overlay" onclick="if(event.target===this)toggleHelp()">
<div class="help-box">
<div class="help-box-h">Inspektionsparadox — Hintergrund
<button class="help-close" onclick="toggleHelp()">✕ Schließen</button>
</div>
<div class="help-sh">Die Idee in einem Satz</div>
<p class="help-p">Wer ein Intervall über einen zufälligen <strong>Zeitpunkt</strong> (statt über eine zufällige <em>Nummer</em>)
auswählt, trifft lange Intervalle häufiger — weil sie mehr Platz auf der Zeitachse einnehmen. Das beobachtete Intervall ist
darum systematisch länger als das durchschnittliche.</p>
<div class="help-sh">Die Mathematik (length-biased sampling)</div>
<span class="help-formula">Lücken L₁…Lₙ, Gesamtzeit T = Σ Lᵢ
P(lande in Lücke i) = Lᵢ / T (∝ Länge!)
erlebte Lücke = Σ Lᵢ·(Lᵢ/T) = ΣLᵢ²/ΣLᵢ = E[L²]/E[L]
= E[L] + Var(L)/E[L] ≥ E[L]</span>
<p class="help-p">Der Aufschlag ist <strong>Var(L)/E[L]</strong>: keine Streuung → kein Effekt; viel Streuung → großer Effekt.
Für eine längen-gewichtete Dichte gilt f*(ℓ) = ℓ·f(ℓ)/E[L].</p>
<div class="help-sh">Die Wartezeit (Residualzeit)</div>
<span class="help-formula">In der getroffenen Lücke kommst du gleichverteilt an
⇒ Restwartezeit | Lücke L = L/2
E[Wartezeit] = Σ (Lᵢ/T)·(Lᵢ/2) = E[L²]/(2·E[L])
naiv erwartet: E[L]/2 → Differenz = Var(L)/(2·E[L])</span>
<p class="help-p">Bei <strong>Poisson</strong>-Ankünften (exponentielle Lücken, Var = E[L]²) ist die erlebte Lücke = 2·E[L] und
die mittlere Wartezeit = E[L] — der gesamte mittlere Abstand, nicht die Hälfte. Das ist die berühmte „Gedächtnislosigkeit".</p>
<div class="help-sh">Wo es überall auftaucht</div>
<p class="help-p"><strong>Wartezeit-Paradox</strong> (Busse, Aufzüge), <strong>Klassengrößen-Paradox</strong> (Studierende erleben
größere Kurse), <strong>Überlebens-/Längenverzerrung</strong> in Screening- und Kohortenstudien (zu einem Stichtag „anwesende"
Fälle haben überlange Verläufe), Auslastung von Servern/Lokalen. Verwandt mit dem <strong>Friendship Paradox</strong> und dem
<strong>Renewal-Reward-Theorem</strong> der Erneuerungstheorie.</p>
<div class="help-sh">Was das Tool zeigt</div>
<p class="help-p">Es erzeugt n Lücken mit mittlerem Soll-Abstand 10 und einstellbarer Streuung (CV). Zeitstrahl <span class="circ">①</span> zeigt die
Lücken und deine zufälligen Ankünfte (∝ Länge). Nach der Vorhersage kannst du unter <span class="circ">②</span> selbst
mehrfach „ankommen" — die Tabelle zeigt den letzten Wurf sowie deinen kumulierten Schnitt im Vergleich zum wahren
Erwartungswert. Histogramm <span class="circ">③</span> vergleicht die <em>gezählte</em> mit der <em>längen-gewichteten</em>
Verteilung. Die Kacheln zeigen E[L], E[L²]/E[L] und beide Wartezeiten. „200× ankommen" bestätigt per Simulation, dass der
erlebte Schnitt gegen E[L²]/E[L] strebt.</p>
<div class="help-sh">Literatur</div>
<p class="help-p">Feller, W. (1971). <em>An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II.</em><br>
Cox, D. R. (1962). <em>Renewal Theory.</em> Methuen.<br>
Stein, C. (1985) & Pal, Szabó (2020) zu size-biased sampling; Hemenway (1982), „Why your friends have more friends than you".</p>
</div>
</div>
<script>
// ══════════════════════════════════════════════════════════════════════
function mulberry32(a){return function(){a|=0;a=a+0x6D2B79F5|0;let t=Math.imul(a^a>>>15,1|a);t=t+Math.imul(t^t>>>7,61|t)^t;return((t^t>>>14)>>>0)/4294967296;};}
const MEAN=10;
let seed=7, spread=0.6, n=14, GAPS=[], BUS=[], T=0, darts=[], expSum=0, waitSum=0, expN=0, lastIdx=-1, guess=null, predicted=false;
let lastGapLen=null, lastPos=null, lastWait=null;
function genGaps(){
const rng=mulberry32(seed);
GAPS=[];
for(let i=0;i<n;i++){
const e=-Math.log(1-rng()*0.999999); // Exp(1)
GAPS.push(MEAN*((1-spread)+spread*e));
}
BUS=[0]; let t=0; GAPS.forEach(g=>{t+=g;BUS.push(t);}); T=t;
darts=[]; expSum=0; waitSum=0; expN=0; lastIdx=-1; lastGapLen=null; lastPos=null; lastWait=null;
}
function stats(){
const m=GAPS.reduce((a,b)=>a+b,0)/n;
const m2=GAPS.reduce((a,b)=>a+b*b,0)/n;
const exp=m2/m, vr=m2-m*m;
return {m,exp,vr,waitN:m/2,waitR:exp/2};
}
// ── sampling ──
function arrive(k){
for(let j=0;j<k;j++){
const rng=Math.random();
const u=rng*T;
// locate gap
let idx=0; while(idx<n-1 && u>BUS[idx+1]) idx++;
const pos=u-BUS[idx], rest=BUS[idx+1]-u;
expSum+=GAPS[idx]; waitSum+=rest; expN++; lastIdx=idx;
lastGapLen=GAPS[idx]; lastPos=pos; lastWait=rest;
if(k===1) darts.push(u); else if(j>=k-40) darts.push(u);
}
if(darts.length>60) darts=darts.slice(-60);
update();
}
function resetDarts(){ darts=[]; expSum=0; waitSum=0; expN=0; lastIdx=-1; lastGapLen=null; lastPos=null; lastWait=null; update(); }
function regen(){ seed=(seed*1103515245+12345)&0x7fffffff; genGaps(); guess=null; resetPred(); update(); }
function predict(g){
guess=g;
document.querySelectorAll('.pred-btn').forEach((b,i)=>b.classList.toggle('sel',['short','equal','long'][i]===g));
const fb=document.getElementById('pred-fb');
fb.className='pred-fb show '+(g==='long'?'right':'wrong');
fb.innerHTML = (g==='long'
? '✓ Richtig! Eine zufällige Zeit fällt häufiger in lange Lücken — die erlebte Lücke ist E[L²]/E[L] ≥ E[L].'
: (g==='equal'
? '✗ Knapp daneben: nur bei <em>exaktem</em> Takt (Streuung 0) wäre es 10. Sobald die Lücken streuen, ist die erlebte Lücke länger.'
: '✗ Andersherum: Du landest häufiger in den <em>langen</em> Lücken, nie systematisch in den kurzen — der Schnitt liegt über 10.'))
+ ' <br><strong>Auflösung:</strong> Betreiber und Fahrgast haben <em>beide</em> recht — das ist das Inspektionsparadox: eine zufällige Zeit fällt mit höherer Wahrscheinlichkeit in eine lange Lücke, weil lange Lücken mehr von der Zeitachse einnehmen. Aufgedeckt unten ↓';
if(!predicted){
predicted=true;
document.getElementById('reveal-locked').style.display='none';
document.getElementById('reveal-wrap').classList.remove('locked');
}
update();
}
function resetPred(){ guess=null; document.querySelectorAll('.pred-btn').forEach(b=>b.classList.remove('sel')); document.getElementById('pred-fb').className='pred-fb'; }
// ══════════════════════════════════════════════════════════════════════
function cv(name){return getComputedStyle(document.documentElement).getPropertyValue(name).trim();}
function drawLine(){
const c=document.getElementById('cv-line'); const W=c.clientWidth; c.width=W; const H=c.height;
const ctx=c.getContext('2d');
const ink=cv('--ink'),ink2=cv('--ink2'),ink3=cv('--ink3'),grid=cv('--grid'),panel=cv('--panel'),bg=cv('--bg'),a2=cv('--a2'),a5=cv('--a5'),a1=cv('--a1');
ctx.clearRect(0,0,W,H);
const padL=14,padR=14,yT=58,yB=104;
const x0=padL,x1=W-padR;
const X=t=>x0+t/T*(x1-x0);
// gap bands
for(let i=0;i<n;i++){
const xa=X(BUS[i]), xb=X(BUS[i+1]);
const hl=(i===lastIdx);
ctx.fillStyle = hl ? a5 : (i%2? grid : panel);
if(hl) ctx.globalAlpha=.5;
ctx.fillRect(xa,yT,xb-xa,yB-yT);
ctx.globalAlpha=1;
// gap length label for wider bands
if(xb-xa>26){
ctx.fillStyle=hl?a5:ink3; ctx.font='10px DM Mono,monospace'; ctx.textAlign='center'; ctx.textBaseline='middle';
ctx.fillText(GAPS[i].toFixed(0),(xa+xb)/2,(yT+yB)/2);
}
}
// bus ticks
for(let i=0;i<BUS.length;i++){
const x=X(BUS[i]);
ctx.strokeStyle=ink2; ctx.lineWidth=2;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(x,yT-6);ctx.lineTo(x,yB+6);ctx.stroke();
}
// darts
darts.forEach((u,j)=>{
const x=X(u); const fresh=(j===darts.length-1);
ctx.fillStyle=fresh?a1:ink3; ctx.globalAlpha=fresh?1:.5;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(x,yT-10);ctx.lineTo(x-5,yT-20);ctx.lineTo(x+5,yT-20);ctx.closePath();ctx.fill();
ctx.globalAlpha=1;
});
// captions
ctx.fillStyle=ink2; ctx.font='11px DM Mono,monospace'; ctx.textAlign='left'; ctx.textBaseline='alphabetic';
ctx.fillText('🚌 Busse',padL,yB+26);
ctx.fillStyle=a1; ctx.textAlign='right';
ctx.fillText('▲ deine Ankünfte',x1,yT-26);
}
function drawHist(){
const c=document.getElementById('cv-hist'); const W=c.clientWidth; c.width=W; const H=c.height;
const ctx=c.getContext('2d');
const ink=cv('--ink'),ink2=cv('--ink2'),ink3=cv('--ink3'),grid=cv('--grid'),a2=cv('--a2'),a5=cv('--a5');
ctx.clearRect(0,0,W,H);
const padL=18,padR=14,padT=16,padB=40;
const x0=padL,x1=W-padR,y0=padT,y1=H-padB;
const st=stats();
const maxG=Math.max(...GAPS), binMax=Math.ceil(maxG/5)*5, nb=12, bw=binMax/nb;
const cntA=new Array(nb).fill(0), wB=new Array(nb).fill(0);
GAPS.forEach(g=>{ let b=Math.min(nb-1,Math.floor(g/bw)); cntA[b]+=1/n; wB[b]+=g/T; });
const ymax=Math.max(...cntA,...wB)*1.15||1;
const X=v=>x0+v/binMax*(x1-x0);
const Y=p=>y1-p/ymax*(y1-y0);
// axis
ctx.strokeStyle=ink3; ctx.lineWidth=1.2;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(x0,y1);ctx.lineTo(x1,y1);ctx.stroke();
// x ticks
ctx.fillStyle=ink3; ctx.font='10px DM Mono,monospace'; ctx.textAlign='center'; ctx.textBaseline='top';
for(let v=0;v<=binMax;v+=Math.max(5,Math.round(binMax/6/5)*5)){ ctx.fillText(v,X(v),y1+6); }
ctx.fillText('Lückenlänge (min)',(x0+x1)/2,y1+22);
// bars (side by side per bin)
for(let b=0;b<nb;b++){
const xa=X(b*bw), xb=X((b+1)*bw), w=(xb-xa)*0.40;
ctx.fillStyle=a2; ctx.fillRect(xa+ (xb-xa)*0.08, Y(cntA[b]), w, y1-Y(cntA[b]));
ctx.fillStyle=a5; ctx.fillRect(xa+ (xb-xa)*0.52, Y(wB[b]), w, y1-Y(wB[b]));
}
// mean lines
function vline(val,col,txt,dy){
ctx.strokeStyle=col; ctx.lineWidth=1.8; ctx.setLineDash([5,4]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(X(val),y0-2);ctx.lineTo(X(val),y1);ctx.stroke(); ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle=col; ctx.font='bold 11px DM Mono,monospace'; ctx.textAlign='center'; ctx.textBaseline='top';
ctx.fillText(txt+' '+val.toFixed(1),X(val),y0+dy);
}
vline(st.m,a2,'E[L]',0);
vline(st.exp,a5,'E[L²]/E[L]',14);
// legend
ctx.textAlign='left'; ctx.textBaseline='middle'; ctx.font='10px DM Mono,monospace';
ctx.fillStyle=a2; ctx.fillRect(x1-176,y0+2,10,10); ctx.fillStyle=ink2; ctx.fillText('gezählt (Betreiber)',x1-162,y0+7);
ctx.fillStyle=a5; ctx.fillRect(x1-176,y0+18,10,10); ctx.fillStyle=ink2; ctx.fillText('erlebt (Fahrgast)',x1-162,y0+23);
}
// ══════════════════════════════════════════════════════════════════════
function update(){
const st=stats();
document.getElementById('m-mean').textContent=st.m.toFixed(1);
document.getElementById('m-exp').textContent=st.exp.toFixed(1);
document.getElementById('m-wn').textContent=st.waitN.toFixed(1);
document.getElementById('m-we').textContent=st.waitR.toFixed(1);
const ratio=(st.exp/st.m);
document.getElementById('verdict').innerHTML = spread<0.02
? `Exakter Takt: alle Lücken ≈ ${st.m.toFixed(1)} min → erlebte Lücke = Soll-Abstand, kein Paradox.`
: `Erlebte Lücke <b>${st.exp.toFixed(1)} min</b> vs. Soll-Abstand <b>${st.m.toFixed(1)} min</b> — das ${ratio.toFixed(2)}-fache. Aufschlag = Var/E[L] = <b>${(st.exp-st.m).toFixed(1)} min</b>. Deine echte Wartezeit: <b>${st.waitR.toFixed(1)}</b> statt naiv ${st.waitN.toFixed(1)} min.`;
if(lastGapLen===null){
document.getElementById('dart-last').innerHTML = 'Noch keine Ankunft. Komm zu einer zufälligen Zeit an die Haltestelle — in welcher Lücke landest du?';
} else {
let rows = `<tr><td>Letzte Ankunft</td><td>${lastGapLen.toFixed(1)} min</td><td>${lastPos.toFixed(1)} min</td><td style="color:var(--a1);font-weight:600">${lastWait.toFixed(1)} min</td></tr>`;
if(predicted){
rows += `<tr class="you"><td>Dein Schnitt (N=${expN})</td><td>${(expSum/expN).toFixed(2)} min</td><td>–</td><td>${(waitSum/expN).toFixed(2)} min</td></tr>`;
rows += `<tr class="true"><td>Wahrer Erwartungswert</td><td>${st.exp.toFixed(2)} min</td><td>–</td><td>${st.waitR.toFixed(2)} min</td></tr>`;
}
document.getElementById('dart-last').innerHTML =
`<table class="conv-table"><thead><tr><th></th><th>Lücke</th><th>Position</th><th>Rest / Ø Warten</th></tr></thead><tbody>${rows}</tbody></table>`
+ (predicted ? `<div class="conv-note">Ein einzelner Wurf kann nah dran oder weit weg liegen — über viele Würfe („Dein Schnitt") konvergiert es zum Erwartungswert (Gesetz der großen Zahlen). Mehrfach „1×" oder „200×" klicken, um es zu beobachten.</div>` : '');
}
drawLine();
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}
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