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<title>OLS & Multiple Regression — Bayes Thinking Lab</title>
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/* ── Dach / Hut-Notation ───────────────────────────────────── */
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/* ── Story Banner ──────────────────────────────────────────── */
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/* ── Module Tabs ───────────────────────────────────────────── */
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}
.mod-tab:hover{color:var(--ink)}
.mod-tab.active{color:var(--a2);border-bottom-color:var(--a2)}
.tab-num{font-size:1.5rem;line-height:1;vertical-align:-.1em}
/* ── Module Panels ─────────────────────────────────────────── */
.mod-panel{display:none;padding:1.4rem 1.4rem 2rem}
.mod-panel.active{display:block}
.mod-h{
font-size:1.25rem;font-weight:600;color:var(--ink);
letter-spacing:-.01em;margin-bottom:.3rem;
}
.mod-h em{font-style:italic;color:var(--a2)}
.mod-sub{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.76rem;
color:var(--ink3);margin-bottom:1.2rem;
min-height:1.55rem;
}
/* ── Canvas Containers ─────────────────────────────────────── */
.cv-wrap{
background:var(--paper);border:1px solid var(--border);
display:inline-block;position:relative;
}
.cv-wrap canvas{display:block}
.cv-row{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:1rem;margin-bottom:1rem}
.cv-label{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.68rem;
color:var(--ink3);margin-bottom:.35rem;text-transform:uppercase;letter-spacing:.08em;
}
/* ── Two-Column Layout (Module 4) ──────────────────────────── */
.two-col{display:grid;grid-template-columns:1fr 1fr;gap:1.2rem;margin-bottom:1rem}
@media(max-width:720px){.two-col{grid-template-columns:1fr}}
/* ── Controls ──────────────────────────────────────────────── */
.ctrl-block{
background:var(--panel);border:1px solid var(--border);
padding:.85rem 1rem;margin-bottom:.85rem;
}
.ctrl-row{
display:flex;align-items:center;gap:.7rem;
margin-bottom:.55rem;flex-wrap:wrap;
}
.ctrl-row:last-child{margin-bottom:0}
.ctrl-label{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
color:var(--ink2);min-width:130px;
}
.ctrl-val{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.78rem;
color:var(--a2);min-width:52px;
}
input[type=range]{
-webkit-appearance:none;appearance:none;
height:4px;background:var(--border);outline:none;
flex:1;min-width:120px;max-width:260px;
}
input[type=range]::-webkit-slider-thumb{
-webkit-appearance:none;width:14px;height:14px;
background:var(--a2);cursor:pointer;
}
input[type=range]::-moz-range-thumb{
width:14px;height:14px;background:var(--a2);border:none;cursor:pointer;
}
.btn{
background:none;border:1px solid var(--border);
color:var(--ink2);font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
padding:.3rem .75rem;cursor:pointer;
transition:border-color .15s,color .15s,background .15s;
}
.btn:hover{border-color:var(--a2);color:var(--a2)}
.btn.primary{border-color:var(--a2);color:var(--a2)}
.btn.primary:hover{background:color-mix(in srgb,var(--a2) 12%,transparent)}
.btn.accent1{border-color:var(--a1);color:var(--a1)}
.btn.accent1:hover{background:color-mix(in srgb,var(--a1) 10%,transparent)}
.btn-row{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:.5rem;margin-bottom:.85rem}
/* ── Scenario Buttons (Module 4) ───────────────────────────── */
.scen-btns{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:.5rem;margin-bottom:.85rem}
.scen-btn{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.73rem;
padding:.28rem .7rem;cursor:pointer;
border:1px solid var(--border);color:var(--ink3);background:none;
transition:all .15s;
}
.scen-btn:hover,.scen-btn.active{
border-color:var(--a2);color:var(--a2);
background:color-mix(in srgb,var(--a2) 8%,transparent);
}
/* ── Erkläer Box ───────────────────────────────────────────── */
.erklaer{
background:var(--panel);border-left:3px solid var(--accent);
padding:.8rem 1rem;margin-bottom:.85rem;max-width:1000px;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.80rem;
color:var(--ink2);line-height:1.95;
}
.erklaer strong{color:var(--ink)}
/* ── Coefficient Grid ──────────────────────────────────────── */
.coef-grid{display:grid;gap:.35rem;margin-bottom:.85rem}
.coef-grid.g2{grid-template-columns:repeat(2,1fr)}
.coef-grid.g3{grid-template-columns:repeat(3,1fr)}
.coef-cell{
background:var(--panel);border:1px solid var(--border);
padding:.6rem .85rem;
}
.coef-cell-lbl{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.66rem;
color:var(--ink3);text-transform:uppercase;letter-spacing:.08em;
margin-bottom:.15rem;
}
.coef-cell-val{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:1.05rem;
color:var(--a2);font-weight:500;
}
.coef-cell-val.changed{color:var(--a5)}
/* ── RSS Meter ─────────────────────────────────────────────── */
.rss-wrap{display:flex;align-items:center;gap:.7rem;margin-bottom:.85rem}
.rss-label{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.73rem;color:var(--ink2);min-width:40px}
.rss-bar-bg{flex:1;height:16px;background:var(--border);position:relative;max-width:340px}
.rss-bar-fill{height:100%;background:var(--a1);transition:width .12s;max-width:100%}
.rss-val{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.78rem;color:var(--a1);min-width:70px}
/* ── Variance Decomposition Bar ────────────────────────────── */
.var-bar-wrap{margin-bottom:.85rem}
.var-bar-label{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.68rem;color:var(--ink3);margin-bottom:.3rem}
.var-bar{height:28px;display:flex;border:1px solid var(--border);overflow:hidden}
.var-seg{
height:100%;display:flex;align-items:center;justify-content:center;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.65rem;
transition:width .2s;overflow:hidden;white-space:nowrap;padding:0 .3rem;
}
.var-seg.ssr{background:color-mix(in srgb,var(--a3) 35%,transparent);color:var(--a3)}
.var-seg.sse{background:color-mix(in srgb,var(--a1) 22%,transparent);color:var(--a1)}
/* ── Anscombe Grid ─────────────────────────────────────────── */
.ansc-grid{display:grid;grid-template-columns:repeat(4,1fr);gap:.7rem;margin-bottom:.85rem}
@media(max-width:720px){.ansc-grid{grid-template-columns:repeat(2,1fr)}}
.ansc-item .cv-wrap{display:block;width:100%}
.ansc-item .cv-wrap canvas{max-width:100%;height:auto}
.ansc-title{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.67rem;color:var(--ink3);margin-bottom:.25rem}
/* ── Accordion ─────────────────────────────────────────────── */
.acc-wrap{margin-bottom:.85rem;max-width:1000px}
.acc-item{border:1px solid var(--border);margin-bottom:.4rem}
.acc-trigger{
width:100%;text-align:left;background:var(--panel);border:none;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.78rem;
color:var(--ink2);padding:.65rem 1rem;cursor:pointer;
display:flex;align-items:center;gap:.6rem;transition:color .15s;
}
.acc-trigger:hover{color:var(--ink)}
.acc-trigger.open{color:var(--a2)}
.acc-arrow{font-size:.7rem;color:var(--ink3);transition:transform .2s;flex-shrink:0;margin-left:auto}
.acc-trigger.open .acc-arrow{transform:rotate(90deg)}
.acc-body{display:none;padding:.8rem 1rem;border-top:1px solid var(--border)}
.acc-body.open{display:block}
/* ── AVP Step Display ──────────────────────────────────────── */
.avp-steps{display:flex;gap:.4rem;flex-wrap:wrap;margin-bottom:.7rem}
.avp-step-btn{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.71rem;
padding:.25rem .6rem;border:1px solid var(--border);
color:var(--ink3);background:none;cursor:pointer;transition:all .15s;
}
.avp-step-btn.active{
border-color:var(--a2);color:var(--a2);
background:color-mix(in srgb,var(--a2) 10%,transparent);
}
/* ── Model Comparison Table ────────────────────────────────── */
.model-table{
width:100%;border-collapse:collapse;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.76rem;margin-bottom:.85rem;
}
.model-table th{
background:var(--panel);border:1px solid var(--border);
padding:.4rem .7rem;color:var(--ink3);font-weight:400;text-align:left;
}
.model-table td{border:1px solid var(--border);padding:.4rem .7rem;color:var(--ink2)}
.model-table td.val{color:var(--a2)}
.model-table td.changed{color:var(--a5)}
.model-table td.dim{color:var(--ink3)}
.model-table tr:nth-child(even) td{background:color-mix(in srgb,var(--panel) 50%,transparent)}
/* ── Lernkarten ────────────────────────────────────────────── */
#lernkarten{padding:1.4rem 1.4rem 2.5rem;border-top:1px solid var(--border);background:var(--bg)}
.lk-head{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.68rem;
text-transform:uppercase;letter-spacing:.12em;color:var(--ink3);margin-bottom:1rem;
}
.lcard-grid{display:grid;grid-template-columns:repeat(2,1fr);gap:.85rem}
.lcard{background:var(--panel);border:1px solid var(--border);padding:1rem 1.1rem}
.lcard:last-child{grid-column:1/-1}
.lcard-h{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.7rem;
text-transform:uppercase;letter-spacing:.1em;color:var(--a2);margin-bottom:.55rem;
}
.lcard-body{font-size:.875rem;color:var(--ink2);line-height:1.7}
.lcard-body strong{color:var(--ink)}
.lcard-body code{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.82em;color:var(--a2)}
/* ── Help Modal ────────────────────────────────────────────── */
.ml-modal{
display:none;position:fixed;inset:0;z-index:9999;
background:rgba(0,0,0,.58);align-items:flex-start;
justify-content:center;padding-top:60px;overflow-y:auto;
}
.ml-modal.open{display:flex}
.ml-modal-box{
background:var(--paper);border:1px solid var(--border);
padding:2rem 2.4rem;max-width:620px;width:90%;
margin-bottom:2rem;font-family:'DM Mono',monospace;position:relative;
}
.ml-modal-close{
position:absolute;top:.75rem;right:.75rem;
background:none;border:none;font-size:1.1rem;cursor:pointer;color:var(--ink2);line-height:1;
}
.ml-modal-close:hover{color:var(--ink)}
.ml-modal-eyebrow{
font-size:.62rem;letter-spacing:.1em;text-transform:uppercase;
color:var(--a1);margin-bottom:1rem;
}
.ml-modal-body h3{font-family:'Fraunces',serif;font-size:1rem;color:var(--ink);margin:1.2rem 0 .4rem}
.ml-modal-body p,.ml-modal-body li{font-size:.8rem;color:var(--ink2);line-height:1.9}
.ml-modal-body ul{padding-left:1.2rem;margin:.3rem 0 .6rem}
.ml-modal-body code{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.9em;color:var(--a2)}
.ml-modal-body a{color:var(--a2)}
.details-box{border:1px solid var(--border);margin:.6rem 0}
.details-box summary{
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;color:var(--ink3);
padding:.5rem .8rem;cursor:pointer;list-style:none;
}
.details-box summary::-webkit-details-marker{display:none}
.details-box[open] summary{color:var(--a2);border-bottom:1px solid var(--border)}
.details-box .details-inner{padding:.7rem .8rem}
/* ── Info-Box ───────────────────────────────────────────────── */
.info-box{
background:var(--panel);
background:color-mix(in srgb,var(--a2) 5%,var(--panel));
border:1px solid var(--border);border-left:3px solid var(--a2);
padding:.85rem 1rem;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.77rem;color:var(--ink2);line-height:1.9;
min-width:0;overflow-y:auto;
}
.info-box-h{
font-size:.64rem;text-transform:uppercase;letter-spacing:.1em;
color:var(--a2);margin-bottom:.6rem;
padding-bottom:.38rem;border-bottom:1px solid var(--border);
}
.info-box p{margin-bottom:.5rem}
.info-box p:last-child{margin-bottom:0}
.info-box strong{color:var(--ink)}
.info-box em{font-style:italic;color:var(--a2)}
/* ── Scrollbar ─────────────────────────────────────────────── */
::-webkit-scrollbar{width:5px;height:5px}
::-webkit-scrollbar-track{background:transparent}
::-webkit-scrollbar-thumb{background:var(--border)}
/* ── Responsive ────────────────────────────────────────────── */
@media(max-width:600px){
.lcard-grid{grid-template-columns:1fr}
.lcard:last-child{grid-column:auto}
.coef-grid.g3{grid-template-columns:repeat(2,1fr)}
.ansc-grid{grid-template-columns:repeat(2,1fr)}
#mod-tabs{font-size:.7rem}
}
/* Controls + Tutorial Box: ab ~1350px vertikal stapeln */
@media(max-width:1350px){
.cv-sidebar{flex-direction:column}
.cv-sidebar>div:first-child{width:100%!important;max-width:460px}
}
/* Sehr enge Fenster (<1000px): Canvas skaliert mit */
@media(max-width:1000px){
.cv-wrap canvas{max-width:100%;height:auto}
.cv-sidebar{min-width:0!important}
}
</style>
</head>
<body>
<!-- ══ TOPBAR ══════════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="topbar">
<div>
<div class="hdr-h1">OLS & Multiple <em>Regression</em></div>
<div class="hdr-sub2">OLS · Koeffizienten · Modellgüte · Multiple Regression</div>
<div class="hdr-auth">© Dr. Rainer Düsing · Interactive Tools by Claude</div>
</div>
<div class="hdr-btns">
<button class="hbtn" onclick="window.open('index_de.html','_self')" style="border-color:var(--a2);color:var(--a2)">← Übersicht</button>
<button class="hbtn" onclick="openModal('help-modal')" style="border-color:var(--a1);color:var(--a1)">? Hilfe</button>
<button class="hbtn" id="btn-neue-daten" onclick="neueDaten()">↻ Neue Daten</button>
<button class="hbtn" id="btn-theme" onclick="toggleTheme()">☀ Light</button>
</div>
</div>
<div id="shell">
<!-- ══ STORY BANNER ════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="story">
<span class="story-label">Beispiel</span>
<div class="story-vars">
<span class="sv">N = 30 Studierende</span>
<span class="sv">X₁ = <em>Lernzeit</em> (h/Woche)</span>
<span class="sv">X₂ = <em>Schlafstunden</em> (h/Nacht)</span>
<span class="sv">Y = <em>Klausurnote</em> (0–100 Pkt.)</span>
</div>
</div>
<!-- ══ MODULE TABS ═════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="mod-tabs">
<button class="mod-tab active" data-mod="1" onclick="showMod(1)">
<span class="tab-num">①</span> Least Squares
</button>
<button class="mod-tab" data-mod="2" onclick="showMod(2)">
<span class="tab-num">②</span> Koeffizienten
</button>
<button class="mod-tab" data-mod="3" onclick="showMod(3)">
<span class="tab-num">③</span> Modellgüte
</button>
<button class="mod-tab" data-mod="4" onclick="showMod(4)">
<span class="tab-num">④</span> Multiple Regression
</button>
</div>
<!-- ══ MODULE 1 ════════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="mod1" class="mod-panel active">
<div class="mod-h">Das <em>Least-Squares</em>-Prinzip</div>
<div class="mod-sub">Warum minimiert OLS die quadrierten Abweichungen — und was bedeutet das?</div>
<div class="cv-row" style="align-items:flex-start">
<div style="position:relative">
<div class="cv-label">Lernzeit (h/Woche) → Klausurnote</div>
<div class="cv-wrap">
<canvas id="cv-scatter" width="880" height="640"></canvas>
</div>
<div id="tooltip-sc" style="display:none;position:absolute;font-family:'DM Mono',monospace;
font-size:.7rem;background:var(--paper);border:1px solid var(--border);
padding:.28rem .55rem;pointer-events:none;color:var(--ink2);line-height:1.6;
white-space:nowrap"></div>
</div>
<div class="cv-sidebar" style="display:flex;flex:1;min-width:300px;gap:.85rem;align-items:flex-start">
<div style="width:240px;flex-shrink:0;display:flex;flex-direction:column;gap:.75rem">
<div class="coef-grid g2">
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl">b₀</div>
<div class="coef-cell-val" id="v-b0">—</div>
</div>
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl">b₁</div>
<div class="coef-cell-val" id="v-b1">—</div>
</div>
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl">R²</div>
<div class="coef-cell-val" id="v-r2">—</div>
</div>
<div class="coef-cell" title="Summe der quadrierten Residuen">
<div class="coef-cell-lbl">RSS</div>
<div class="coef-cell-val" id="v-rss">—</div>
</div>
</div>
<div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.66rem;color:var(--ink3);margin-bottom:.45rem">RSS-Vergleich (kleiner = besser)</div>
<div style="display:flex;align-items:center;gap:.5rem;margin-bottom:.3rem">
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.64rem;color:var(--a5);width:66px;flex-shrink:0">Ihre Gerade</div>
<div style="flex:1;height:13px;background:var(--border);overflow:hidden">
<div id="rss-hand-fill" style="height:100%;background:var(--a5);width:80%;transition:width .12s"></div>
</div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.64rem;color:var(--a5);width:40px;text-align:right" id="rss-hand-pct">—</div>
</div>
<div id="rss-ols-row" style="display:flex;align-items:center;gap:.5rem;opacity:.3;transition:opacity .25s">
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.64rem;color:var(--a3);width:66px;flex-shrink:0">OLS (min)</div>
<div style="flex:1;height:13px;background:var(--border);overflow:hidden">
<div id="rss-ols-fill" style="height:100%;background:var(--a3);width:0%;transition:width .2s"></div>
</div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.64rem;color:var(--a3);width:40px;text-align:right" id="rss-ols-pct">—</div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-bottom:0">
<strong>Modell:</strong><br>
<span class="gk gk-hat">Y</span> = <span id="f-b0" style="color:var(--a2)">—</span>
+ <span id="f-b1" style="color:var(--a2)">—</span> · X₁
</div>
<div class="btn-row" style="margin-bottom:.3rem;flex-wrap:wrap">
<button class="btn accent1" id="btn-hand" onclick="toggleHand()">✏ Hand: An</button>
<button class="btn" id="btn-show-ols" onclick="toggleShowOLS()">◎ OLS zeigen</button>
</div>
<button class="btn" id="btn-resid" onclick="toggleResiduals()" style="width:100%">● Residuals: Aus</button>
</div>
<div class="info-box" style="flex:1">
<div class="info-box-h">Tutorial — Das Least-Squares-Prinzip</div>
<p><strong>Was Sie sehen</strong><br>
30 simulierte Studierende: Lernzeit X₁ (h/Woche) → Klausurnote Y (Punkte). Die <em>orangene Gerade</em> ist Ihre Schätzlinie — ziehbar über zwei runde Anker am linken und rechten Rand. Schalten Sie <em>● Residuals</em> ein: grüne Striche = positive Residuen (Punkt liegt über der Gerade), rote Striche = negative Residuen (Punkt liegt darunter). Ein <strong>Residuum</strong> eᵢ = yᵢ − ŷᵢ ist die Abweichung des beobachteten vom vorhergesagten Wert.</p>
<p><strong>Was tun</strong><br>
Ziehen Sie die Anker, bis Ihre RSS (orangener Balken, absoluter Wert) möglichst klein wird. Klicken Sie dann <em>◎ OLS zeigen</em> — die blaue OLS-Gerade erscheint. Der zweite Balken zeigt deren RSS. Vergleich: Wie nah kamen Sie ans Minimum?</p>
<p><strong>Was ist RSS? (Residual Sum of Squares)</strong><br>
RSS = Σeᵢ² = Σ(yᵢ − ŷᵢ)². OLS findet analytisch exakt das b₀ und b₁, für das RSS global minimal ist — eindeutig und beweisbar. Kein Ausprobieren: b₁ = Cov(X,Y)/Var(X), b₀ = ȳ − b₁·x̄.</p>
<p><strong>Warum Quadrate, nicht Beträge?</strong><br>
(1) Für jede OLS-Gerade gilt Σeᵢ = 0 — positive und negative Residuen heben sich trivialerweise auf. (2) Das Quadrieren bestraft große Residuen überproportional: ein Residuum von 10 kostet 100, nicht 10. (3) Das Quadrat liefert eine differenzierbare Funktion → geschlossene, eindeutige Lösung.</p>
<p><strong>Gauss-Markov:</strong> Unter den 5 OLS-Annahmen (→ Modul <span class="tab-num">③</span>) ist OLS der <em>BLUE</em> — Best Linear Unbiased Estimator. Kein anderer linearer unverzerrter Schätzer hat kleinere Varianz.</p>
</div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-top:.9rem">
<strong>Was ist ein Residuum?</strong>
eᵢ = yᵢ − <span class="gk gk-hat" style="display:inline-block">y</span>ᵢ
ist die Abweichung des <em>beobachteten</em> Wertes vom <em>vorhergesagten</em>.
<strong>Warum quadrieren?</strong> Erstens werden positive und negative Residuen gleich
behandelt (|+3| = |−3|). Zweitens werden große Residuen überproportional bestraft:
ein Residuum von 10 zählt 100, nicht 10. OLS findet das einzige b₀, b₁ für das gilt:
Σeᵢ = 0 <em>und</em> Σeᵢ² ist minimal — diese Lösung ist eindeutig.
</div>
<div class="acc-wrap" style="margin-top:.9rem">
<div class="acc-item">
<button class="acc-trigger"
onclick="toggleAcc(this);if(this.classList.contains('open'))drawAnscombe()">
📐 Anscombe's Quartet — Warum Residualdiagnostik unverzichtbar ist
<span class="acc-arrow">▶</span>
</button>
<div class="acc-body">
<div class="ansc-grid">
<div class="ansc-item">
<div class="ansc-title">I — linear</div>
<div class="cv-wrap"><canvas id="cv-ansc1" width="320" height="252"></canvas></div>
</div>
<div class="ansc-item">
<div class="ansc-title">II — quadratisch</div>
<div class="cv-wrap"><canvas id="cv-ansc2" width="320" height="252"></canvas></div>
</div>
<div class="ansc-item">
<div class="ansc-title">III — Ausreißer</div>
<div class="cv-wrap"><canvas id="cv-ansc3" width="320" height="252"></canvas></div>
</div>
<div class="ansc-item">
<div class="ansc-title">IV — Leverage-Punkt</div>
<div class="cv-wrap"><canvas id="cv-ansc4" width="320" height="252"></canvas></div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-bottom:0">
<strong>Alle vier Datensätze</strong> haben (nahezu) identische Kennwerte:
b₁ ≈ 0.50, b₀ ≈ 3.0, r ≈ .816, R² ≈ .667. Dennoch zeigen Scatterplot und
Residualplot fundamental verschiedene Muster. <strong>Fazit:</strong>
Koeffizienten und R² allein genügen nicht — Residualdiagnostik ist Pflicht.
</div>
</div>
</div>
</div>
</div><!-- mod1 -->
<!-- ══ MODULE 2 ════════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="mod2" class="mod-panel">
<div class="mod-h"><em>b₀</em>, <em>b₁</em> und β verstehen</div>
<div class="mod-sub">Steigung, Achsenabschnitt und standardisierter Koeffizient — visuell und formal</div>
<div class="cv-row" style="align-items:flex-start">
<div>
<div class="cv-label">Regressionsgerade mit Koeffizienten-Visualisierung</div>
<div class="cv-wrap">
<canvas id="cv-coef" width="880" height="640"></canvas>
</div>
</div>
<div class="cv-sidebar" style="display:flex;flex:1;min-width:300px;gap:.85rem;align-items:flex-start">
<div style="width:240px;flex-shrink:0;display:flex;flex-direction:column;gap:.75rem">
<div class="coef-grid g3">
<div class="coef-cell" title="Erwarteter Y-Wert wenn X = 0">
<div class="coef-cell-lbl">b₀</div>
<div class="coef-cell-val" id="m2-b0">—</div>
</div>
<div class="coef-cell" title="Änderung von Y pro +1 Einheit X">
<div class="coef-cell-lbl">b₁</div>
<div class="coef-cell-val" id="m2-b1">—</div>
</div>
<div class="coef-cell" title="Standardisierter Koeffizient — in SD-Einheiten">
<div class="coef-cell-lbl">β</div>
<div class="coef-cell-val" id="m2-beta">—</div>
</div>
</div>
<div class="btn-row" style="margin-bottom:0;flex-wrap:wrap">
<button class="btn" id="btn-slope" onclick="toggleSlope()">△ Steigung</button>
<button class="btn" id="btn-mean-cr" onclick="toggleMeanCr()">✛ Mittelwert</button>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-bottom:0">
<strong>b₁:</strong> Pro +1 h Lernzeit steigt die erwartete Note um
<span id="m2-b1-val" style="color:var(--a2)">—</span> Punkte.<br>
<strong>β = r =</strong> <span id="m2-beta-val" style="color:var(--a2)">—</span>
— bivariat gilt stets β = r.<br>
<strong>b₀:</strong> Erwartete Note bei 0 h Lernzeit (extrapoliert,
inhaltlich oft nicht sinnvoll).
</div>
</div>
<div class="info-box" style="flex:1">
<div class="info-box-h">Tutorial — b₀, b₁ und β verstehen</div>
<p><strong>Was Sie sehen</strong><br>
Die OLS-Gerade durch alle 30 Datenpunkte. Aktivieren Sie <em>△ Steigung</em> für das Steigungsdreieck und <em>✛ Mittelwert</em> für den Schwerpunkt (x̄, ȳ) im Koordinatensystem.</p>
<p><strong>b₁ = <span id="m2-info-b1">—</span> — Steigung (unstandardisiert)</strong><br>
Pro +1 h Lernzeit steigt die <em>erwartete</em> Note um <span id="m2-info-b1b">—</span> Punkte. Einheit: Punkte/Stunde. Interpretation: deskriptiv, <em>kein Kausaleffekt</em>. b₁ ist skalenabhängig.<br>
Das Steigungsdreieck im Koordinatensystem zeigt konkret: <strong>+3 h Lernzeit → +<span id="m2-slope-tri">—</span> Punkte</strong> (= 3 · b₁).</p>
<p><strong>β = <span id="m2-info-beta">—</span> — standardisierter Koeffizient</strong><br>
Pro +1 SD in X₁ steigt Y um β SD. Bivariat gilt immer β = r (Pearson-Korrelation). β erlaubt den Vergleich von Prädiktoren unterschiedlicher Skalen <em>innerhalb</em> einer Studie.<br>
<em>Wichtig:</em> β gibt nicht direkt die Wichtigkeit an — bei korrelierten Prädiktoren kann β stark vom partiellen Effekt abweichen (→ Modul <span class="tab-num">④</span>).</p>
<p><strong>b₀ = <span id="m2-info-b0">—</span> — Achsenabschnitt</strong><br>
Erwartete Note bei X₁ = 0 h Lernzeit. Da 0 h außerhalb des beobachteten Bereichs liegt, ist das eine <em>Extrapolation</em> — inhaltlich meist nicht sinnvoll interpretierbar.</p>
<p><strong>Schwerpunkt (x̄ = <span id="m2-info-mx">—</span> h | ȳ = <span id="m2-info-my">—</span> Pkt)</strong><br>
Die OLS-Gerade läuft <em>immer</em> durch (x̄, ȳ) — mathematisch zwingend, da b₀ = ȳ − b₁·x̄.</p>
</div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-top:.9rem">
<strong>Berechnungsformeln:</strong><br>
b₁ = Σ(xᵢ − <span class="gk gk-bar">x</span>)(yᵢ − <span class="gk gk-bar">y</span>) /
Σ(xᵢ − <span class="gk gk-bar">x</span>)² = Cov(X,Y) / Var(X)<br>
b₀ = <span class="gk gk-bar">y</span> − b₁ ·
<span class="gk gk-bar">x</span>
·
β = b₁ · (SD<sub>X</sub> / SD<sub>Y</sub>) = r (bivariat)
</div>
<div class="acc-wrap" style="margin-top:.9rem">
<div class="acc-item">
<button class="acc-trigger" onclick="toggleAcc(this)">
📊 b₁ vs. β — Welchen Koeffizienten soll ich berichten?
<span class="acc-arrow">▶</span>
</button>
<div class="acc-body">
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.8rem;color:var(--ink2);line-height:1.95">
<strong style="color:var(--ink)">b₁ (unstandardisiert)</strong> berichtet man, wenn
die Einheit inhaltlich bedeutsam ist: „+1 h Lernzeit → +<span id="m2-b1-acc">—</span> Punkte".<br><br>
<strong style="color:var(--ink)">β (standardisiert)</strong> erlaubt den Vergleich von
Prädiktoren verschiedener Skalen <em>innerhalb</em> einer Studie.
Achtung: β variiert mit SD(X) und SD(Y) — Vergleiche zwischen Studien sind
<em>nicht</em> zulässig.<br><br>
Im bivariaten OLS gilt stets: β = r = <span id="m2-beta-acc">—</span>.
Im multiplen Modell (Modul <span class="tab-num">④</span>) ist β ≠ r.
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<!-- ══ MODULE 3 ════════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="mod3" class="mod-panel">
<div class="mod-h">Modellgüte & <em>Varianzzerlegung</em></div>
<div class="mod-sub">TSS = SSM + RSS, R², adjusted R² und die Annahmen des OLS-Modells</div>
<div class="cv-row" style="align-items:flex-start">
<div>
<div class="cv-label" id="m3-cv-label">Gesamt (TSS) — Abstände der Punkte vom Mittelwert ȳ</div>
<div class="cv-wrap">
<canvas id="cv-var" width="880" height="640"></canvas>
</div>
</div>
<div class="cv-sidebar" style="display:flex;flex:1;min-width:300px;gap:.85rem;align-items:flex-start">
<div style="width:240px;flex-shrink:0;display:flex;flex-direction:column;gap:.75rem">
<div class="btn-row" style="margin-bottom:0">
<button class="btn primary" id="btn-m3-tss" onclick="setVarMode('TSS')">TSS</button>
<button class="btn" id="btn-m3-ssm" onclick="setVarMode('SSM')">SSM</button>
<button class="btn" id="btn-m3-rss" onclick="setVarMode('RSS')">RSS</button>
</div>
<div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.66rem;color:var(--ink3);margin-bottom:.3rem">
TSS = SSM + RSS
</div>
<div class="var-bar">
<div class="var-seg ssr" id="m3-ssr-seg" style="width:50%">SSM</div>
<div class="var-seg sse" id="m3-sse-seg" style="width:50%">RSS</div>
</div>
<div style="display:flex;justify-content:space-between;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.62rem;margin-top:.25rem">
<span style="color:var(--a3)" id="m3-ssr-lbl">SSM = —</span>
<span style="color:var(--a1)" id="m3-sse-lbl">RSS = —</span>
</div>
</div>
<div class="coef-grid g2">
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl">R²</div>
<div class="coef-cell-val" id="m3-r2">—</div>
</div>
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl">adj. R²</div>
<div class="coef-cell-val" id="m3-adjr2">—</div>
</div>
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl" style="text-transform:none">f²</div>
<div class="coef-cell-val" id="m3-f2">—</div>
</div>
<div class="coef-cell">
<div class="coef-cell-lbl">r (Pearson)</div>
<div class="coef-cell-val" id="m3-r">—</div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-bottom:0">
<strong>R²</strong> = SSM/TSS = <span id="m3-r2-pct">—</span>% der Gesamtvarianz
in Y werden durch X₁ erklärt.<br>
<strong>f²</strong> = R²/(1−R²) = SSM/RSS: klein ≥ .02 · mittel ≥ .15 · groß ≥ .35
</div>
</div>
<div class="info-box" style="flex:1">
<div class="info-box-h">Tutorial — Varianzzerlegung & Modellgüte</div>
<p><strong>Was Sie sehen — drei Modi (TSS = SSM + RSS)</strong><br>
<em>TSS</em> (graue Striche): Abstände aller Punkte vom Mittelwert ȳ — die Gesamtstreuung in Y, unabhängig vom Modell. <em>SSM</em> (grüne Striche): Abstände des Modells (Regressionsgerade) vom Mittelwert ȳ — der Anteil, den das Modell gegenüber „nur ȳ als Vorhersage" erklärt. <em>RSS</em> (rote Striche): Abstände der Punkte vom Modell — die Residuen, also was unerklärt bleibt. Der Balken links zeigt das SSM : RSS-Verhältnis. Wechseln Sie die Modi über die Schaltflächen.</p>
<p><strong>TSS = <span id="m3-info-sst">—</span> — Total Sum of Squares</strong><br>
TSS = Σ(yᵢ − ȳ)². Gesamtvarianz in Y — hängt <em>nicht</em> vom Modell ab.</p>
<p><strong>SSM = <span id="m3-info-ssr">—</span> (<span id="m3-info-ssr-pct">—</span>% von TSS) — Sum of Squares Model</strong><br>
SSM = Σ(ŷᵢ − ȳ)². Der vom Modell erklärte Anteil — der Abstand der Regressionsgeraden vom Mittelwert ȳ an der Stelle jedes Datenpunktes (ein Beitrag pro Beobachtung), also die Verbesserung gegenüber „nur ȳ". Je größer SSM relativ zu TSS, desto besser der Fit. OLS <em>maximiert</em> SSM (äquivalent zum Minimieren von RSS).</p>
<p><strong>RSS = <span id="m3-info-sse">—</span> (<span id="m3-info-sse-pct">—</span>% von TSS) — Residual Sum of Squares</strong><br>
RSS = Σeᵢ² — nicht erklärte Varianz. TSS = SSM + RSS ist mathematisch exakt.</p>
<p><strong>R² und f² (Cohens Effektgröße)</strong><br>
R² = SSM/TSS: Anteil erklärter Varianz. <em>Achtung:</em> R² steigt immer mit jedem weiteren Prädiktor! Adjusted R² korrigiert mit Strafterm pro Prädiktor.<br>
f² = R²/(1−R²) = <span id="m3-info-f2">—</span> → <span id="m3-info-f2-lbl">—</span> Effekt. Cohen (1988): .02 klein · .15 mittel · .35 groß.</p>
</div>
</div>
</div>
<div class="acc-wrap" style="margin-top:.9rem">
<div class="acc-item">
<button class="acc-trigger" onclick="toggleAcc(this)">
📋 OLS-Annahmen — wann ist das Modell gültig?
<span class="acc-arrow">▶</span>
</button>
<div class="acc-body">
<div style="display:flex;flex-direction:column;gap:.6rem">
<div style="display:flex;gap:.75rem;align-items:flex-start">
<span class="tab-num" style="color:var(--a2);flex-shrink:0">①</span>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.79rem;color:var(--ink2);line-height:1.85">
<strong style="color:var(--ink)">Linearität:</strong>
Die Beziehung zwischen X und Y ist linear. Verletzung: Residual-vs-Fitted-Plot
zeigt systematisches Muster. Abhilfe: Transformation oder polynomiale Terme.
</div>
</div>
<div style="display:flex;gap:.75rem;align-items:flex-start">
<span class="tab-num" style="color:var(--a2);flex-shrink:0">②</span>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.79rem;color:var(--ink2);line-height:1.85">
<strong style="color:var(--ink)">Unabhängigkeit:</strong>
Beobachtungen sind unabhängig (keine Autokorrelation, kein Clustering).
Verletzung bei Längsschnitt- oder Nested-Daten → gemischte Modelle notwendig.
</div>
</div>
<div style="display:flex;gap:.75rem;align-items:flex-start">
<span class="tab-num" style="color:var(--a2);flex-shrink:0">③</span>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.79rem;color:var(--ink2);line-height:1.85">
<strong style="color:var(--ink)">Homoskedastizität:</strong>
Varianz der Residuen ist konstant über alle X-Werte — kein Streufächer.
Verletzung: heteroskedastizitätsrobuste Standardfehler
(<strong>HC3</strong> — sandwich-basierte, leverage-korrigierte Kovarianzschätzung,
robust auch bei kleinen Stichproben) oder <strong>WLS</strong>
(Weighted Least Squares — gewichtet jede Beobachtung invers zu ihrer geschätzten
Varianz, statt nur die Standardfehler nachträglich zu korrigieren).
</div>
</div>
<div style="display:flex;gap:.75rem;align-items:flex-start">
<span class="tab-num" style="color:var(--a2);flex-shrink:0">④</span>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.79rem;color:var(--ink2);line-height:1.85">
<strong style="color:var(--ink)">Normalverteilung der Residuen:</strong>
Nur für <em>Inferenzstatistik</em> nötig — nicht für die OLS-Schätzung selbst
(Gauss-Markov-Theorem!). Bei n ≥ 30 greift der zentrale Grenzwertsatz.
</div>
</div>
<div style="display:flex;gap:.75rem;align-items:flex-start">
<span class="tab-num" style="color:var(--a2);flex-shrink:0">⑤</span>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.79rem;color:var(--ink2);line-height:1.85">
<strong style="color:var(--ink)">Keine perfekte Multikollinearität</strong>
(multiple Regression): Sind zwei Prädiktoren perfekt korreliert, ist
(<strong>X</strong>ᵀ<strong>X</strong>) nicht invertierbar.
Hohe Kollinearität bläht Standardfehler auf → VIF > 10 kritisch.
Siehe Modul <span class="tab-num">④</span>.
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<!-- ══ MODULE 4 ════════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="mod4" class="mod-panel">
<div class="mod-h">Multiple Regression & <em>Added Variable Plot</em></div>
<div class="mod-sub">Was bedeutet „unter Kontrolle von X₂"? Partielle Slopes visuell verstehen.</div>
<div class="cv-row" style="align-items:flex-start">
<div>
<div class="cv-label" id="m4-cv-label">Schritt <span class="tab-num">①</span> — Bivariates Modell: Y ~ X₁</div>
<div class="cv-wrap">
<canvas id="cv-avp" width="880" height="640"></canvas>
</div>
</div>
<div class="cv-sidebar" style="display:flex;flex:1;min-width:300px;gap:.85rem;align-items:flex-start">
<div style="width:260px;flex-shrink:0;display:flex;flex-direction:column;gap:.75rem">
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.66rem;color:var(--ink3)">Schritt</div>
<div class="btn-row" style="flex-wrap:wrap;gap:.4rem;margin-bottom:0">
<button class="btn avp-step-btn active" data-step="0" onclick="setAvpStep(0)"><span class="tab-num">①</span> Bivariat</button>
<button class="btn avp-step-btn" data-step="1" onclick="setAvpStep(1)"><span class="tab-num">②</span> e(Y|X₂)</button>
<button class="btn avp-step-btn" data-step="2" onclick="setAvpStep(2)"><span class="tab-num">③</span> e(X₁|X₂)</button>
<button class="btn avp-step-btn" data-step="3" onclick="setAvpStep(3)"><span class="tab-num">④</span> AVP</button>
<button class="btn avp-step-btn" data-step="4" onclick="setAvpStep(4)"><span class="tab-num">⑤</span> 3D-Ebene</button>
</div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.66rem;color:var(--ink3);margin-top:.2rem">Korrelation X₁↔X₂</div>
<div style="display:flex;flex-wrap:wrap;gap:.35rem;margin-bottom:0">
<button class="scen-btn" id="scen-r0" onclick="setR12(0)">r = .00</button>
<button class="scen-btn active" id="scen-r2" onclick="setR12(0.20)">r = .20</button>
<button class="scen-btn" id="scen-r5" onclick="setR12(0.50)">r = .50</button>
<button class="scen-btn" id="scen-r8" onclick="setR12(0.80)">r = .80</button>
</div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.66rem;color:var(--ink3);margin-top:.2rem">Koeffizientenvergleich</div>
<table style="width:100%;border-collapse:collapse;font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.77rem">
<thead>
<tr>
<th style="text-align:left;color:var(--ink3);padding:.25rem .3rem;border-bottom:1px solid var(--border);font-weight:400">Modell</th>
<th style="text-align:right;color:var(--ink3);padding:.25rem .3rem;border-bottom:1px solid var(--border);font-weight:400">b₁</th>
<th style="text-align:right;color:var(--ink3);padding:.25rem .3rem;border-bottom:1px solid var(--border);font-weight:400">β₁</th>
<th style="text-align:right;color:var(--ink3);padding:.25rem .3rem;border-bottom:1px solid var(--border);font-weight:400">R²</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="padding:.25rem .3rem;color:var(--ink2)">Bivariat</td>
<td id="m4-biv-b1" style="text-align:right;padding:.25rem .3rem;color:var(--ink)">—</td>
<td id="m4-biv-beta" style="text-align:right;padding:.25rem .3rem;color:var(--ink)">—</td>
<td id="m4-biv-r2" style="text-align:right;padding:.25rem .3rem;color:var(--ink)">—</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding:.25rem .3rem;color:var(--ink2)">Partiell</td>
<td id="m4-par-b1" style="text-align:right;padding:.25rem .3rem;color:var(--a2);font-weight:600">—</td>
<td id="m4-par-beta" style="text-align:right;padding:.25rem .3rem;color:var(--a2);font-weight:600">—</td>
<td id="m4-par-r2" style="text-align:right;padding:.25rem .3rem;color:var(--a2);font-weight:600">—</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<div class="coef-grid g2">
<div class="coef-cell" title="Steigung der AVP-Regressionslinie = partielles b₁">
<div class="coef-cell-lbl">AVP-Slope</div>
<div class="coef-cell-val" id="m4-avp-slope">—</div>
</div>
<div class="coef-cell" title="Bivariates b₁ minus partielles b₁">
<div class="coef-cell-lbl">Δb₁</div>
<div class="coef-cell-val" id="m4-diff-b1">—</div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" id="m4-erkl" style="margin-bottom:0;min-height:5rem">
Schritt ① zeigt die <strong>bivariate</strong> Regression Y auf X₁ — wie in Modul ①.
Das bivariate b₁ enthält noch den <em>Einfluss von X₂</em>, wenn X₁ und X₂ korreliert sind.
</div>
</div>
<div class="info-box" style="flex:1">
<div class="info-box-h">Tutorial — Multiple Regression & AVP</div>
<p><strong>Von der Geraden zur Ebene</strong><br>
Bivariat (Y ~ X₁) ist die Lösung eine <em>Gerade</em> im 2D-Raum. Mit zwei Prädiktoren (Y ~ X₁ + X₂) wird sie zur <em>Regressionsfläche (Ebene)</em> im 3D-Raum. b₁ ist die Steigung in X₁-Richtung, b₂ in X₂-Richtung — jeweils <em>bei festgehaltenem</em> anderen Prädiktor.</p>
<p><strong>Warum multiple Regression?</strong><br>
X₁ (Lernzeit) und X₂ (Schlaf) korrelieren mit r₁₂ = <strong><span id="m4-info-r12">—</span></strong>. Das bivariate Modell misst nicht den reinen X₁-Effekt — b₁ enthält auch den Einfluss von X₂. Das multiple Modell hält X₂ statistisch konstant.</p>
<p><strong>Die Koeffizienten lesen (Tabelle links)</strong><br>
<em>Bivariat b₁:</em> Steigung aus Y ~ X₁ allein — enthält Konfundierung durch X₂.<br>
<em>Partiell b₁:</em> Steigung aus Y ~ X₁ + X₂ — bereinigt um X₂.<br>
<em>Δb₁:</em> Die Differenz quantifiziert die Konfundierung. Bei r₁₂ = 0 ist Δb₁ = 0.</p>
<div id="m4-info-step" style="border-top:1px solid var(--border);margin-top:.55rem;padding-top:.55rem">
<p><strong>Schritt ① — Bivariate Ausgangslage</strong><br>
Was Sie sehen: Die bivariate OLS-Gerade Y ~ X₁ (Lernzeit → Note) — identisch mit Modul ①.<br>
Tipp: Notieren Sie das bivariate b₁ (Tabelle links), wechseln Sie dann r₁₂ und vergleichen Sie.</p>
</div>
<p style="border-top:1px solid var(--border);margin-top:.55rem;padding-top:.55rem">
<strong>Konfundierung im Vergleich</strong><br>
bivariat b₁ = <span id="m4-info-biv" style="color:var(--ink)">—</span> · partiell b₁ = <em><span id="m4-info-par">—</span></em> · Δb₁ = <span id="m4-info-diff">—</span><br>
Je größer r₁₂, desto mehr weicht das bivariate vom partiellen b₁ ab.</p>
</div>
</div>
</div>
<div class="erklaer" style="margin-top:.9rem">
<strong>AVP-Prinzip:</strong> Ein Added Variable Plot (<em>Partialregression</em>) macht den
<em>partiellen</em> Effekt von X₁ auf Y sichtbar — bereinigt um X₂. Dazu wird X₂ sowohl aus
Y (<em>e(Y|X₂)</em>) als auch aus X₁ (<em>e(X₁|X₂)</em>) herausgerechnet. Die Steigung der
Regressionslinie durch die Residualvektoren <strong>entspricht exakt</strong> dem partiellen
Koeffizienten b₁ aus dem multiplen Modell.
</div>
</div>
<!-- ══ LERNKARTEN ═══════════════════════════════════════════════════ -->
<section id="lernkarten">
<div class="lk-head">Lernkarten — OLS & Multiple Regression</div>
<div class="lcard-grid">
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="tab-num">①</span> OLS-Kriterium</div>
<div class="lcard-body">
OLS minimiert die <strong>Summe der quadrierten Residuen</strong>:
<code>min Σ(yᵢ − ŷᵢ)²</code>.
Das Quadrieren hat zwei Gründe: Vorzeichen werden neutralisiert,
und große Residuen werden überproportional stärker bestraft als kleine.
Die Lösung ist eindeutig und liefert immer <code>Σeᵢ = 0</code>.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="tab-num">②</span> Koeffizient b₁</div>
<div class="lcard-body">
<strong>Interpretation:</strong> „Pro +1 Einheit X steigt der erwartete
Wert von Y um b₁ Einheiten — alle anderen Prädiktoren konstant gehalten
(<em>ceteris paribus</em>)."
Im bivariaten Fall: <code>b₁ = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)²</code>.
Der Zähler ist die Kovarianz, der Nenner die Varianz von X.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="tab-num">③</span> Intercept b₀</div>
<div class="lcard-body">
b₀ ist der erwartete Y-Wert, <strong>wenn alle Prädiktoren gleich 0 sind</strong>.
Das ist oft inhaltlich nicht sinnvoll (z. B. 0 Lernstunden, 0 Schlaf).
b₀ wird für die <em>Vorhersage</em> benötigt, sollte aber meist
nicht inhaltlich interpretiert werden. Immer gilt: <code>ȳ = b₀ + b₁·x̄</code>.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="tab-num">④</span> R² und adj. R²</div>
<div class="lcard-body">
<code>R² = SSM/SST ∈ [0, 1]</code> — Anteil erklärter Varianz.
R² steigt mit jedem hinzugefügten Prädiktor, auch nutzlosen.
Adjusted R² korrigiert dafür:
<code>adj.R² = 1 − (1−R²)·(n−1)/(n−k−1)</code>.
adj.R² sinkt, wenn ein neuer Prädiktor weniger erklärt als durch Zufall erwartet.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="tab-num">⑤</span> Partial Slope</div>
<div class="lcard-body">
b₁ im multiplen Modell ist <strong>nicht</strong> derselbe wie im bivariaten Modell —
er ist der Slope im <em>Added Variable Plot</em> (AVP):
Regression von <code>e(Y|X₂)</code> auf <code>e(X₁|X₂)</code>.
Dieser Wert entspricht dem <em>Partial Slope</em>: Effekt von X₁ auf Y,
nachdem der gemeinsame Anteil von X₂ aus beiden herausgerechnet wurde.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h"><span class="tab-num">⑥</span> Standardisierung β</div>
<div class="lcard-body">
<code>β = b · (SD_X / SD_Y)</code> — der standardisierte Regressionskoeffizient.
β gibt an, um wie viele <strong>Standardabweichungen</strong> Y steigt,
wenn X um eine SD steigt. Erlaubt Vergleich von Prädiktoren
mit verschiedenen Skalen, aber nur <em>innerhalb</em> einer Stichprobe.
Zwischen Studien sind β-Werte wegen unterschiedlicher SDs <strong>nicht</strong> direkt vergleichbar.
</div>
</div>
</div>
</section>
</div><!-- /shell -->
<!-- ══ HILFE-MODAL ═══════════════════════════════════════════════════ -->
<div id="help-modal" class="ml-modal" onclick="if(event.target===this)closeModal('help-modal')">
<div class="ml-modal-box">
<button class="ml-modal-close" onclick="closeModal('help-modal')">✕</button>
<div class="ml-modal-eyebrow">? Hilfe — OLS & Multiple Regression</div>
<div class="ml-modal-body">
<h3>Was ist OLS?</h3>
<p><em>Ordinary Least Squares</em> (OLS) ist das Standardverfahren zur Schätzung
linearer Regressionsmodelle. Es findet diejenigen Koeffizienten b₀ und b₁, die die
<strong>Summe der quadrierten Residuen</strong> minimieren:
<code>min Σ(yᵢ − ŷᵢ)²</code>.
Die Lösung folgt aus den <em>Normalgleichungen</em>:</p>
<ul>
<li><code>b₁ = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)²</code></li>
<li><code>b₀ = ȳ − b₁·x̄</code></li>