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<title>Vom LM zum GLM — Bayes Thinking Lab</title>
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.s-title .st-badge{font-size:.75rem;padding:.06rem .3rem;border:1px solid;white-space:nowrap}
.st-bad{border-color:var(--a1);color:var(--a1)}
.st-good{border-color:var(--a3);color:var(--a3)}
/* CONTROLS */
.ctrl-bar{background:var(--paper);border-top:1px solid var(--grid);
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.ctrl-group{display:flex;align-items:center;gap:.38rem}
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input[type=range]{-webkit-appearance:none;height:3px;background:var(--grid);
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input[type=range]::-webkit-slider-thumb{-webkit-appearance:none;width:13px;height:13px;
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.ctrl-val{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;font-weight:500;
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.cbtn{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;padding:.3rem .75rem;
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.cbtn:hover{border-color:var(--a3);color:var(--a3)}
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/* STATS */
.stat-row{display:flex;justify-content:space-between;align-items:baseline;
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.stat-good{color:var(--a3)}.stat-bad{color:var(--a1)}.stat-mid{color:var(--a3)}
/* FIT COMPARE BAR */
.fit-bar-wrap{margin:.4rem 0}
.fit-bar-label{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;color:var(--ink2);
display:flex;justify-content:space-between;margin-bottom:.18rem}
.fit-bar-bg{height:6px;background:var(--grid);position:relative}
.fit-bar-fill{height:100%;position:absolute;top:0;left:0;transition:width .4s}
/* INTRO STRIP */
.intro-strip{background:var(--paper);border:1px solid var(--border);
padding:.75rem 1rem .65rem;margin-bottom:1px}
.intro-badge{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.65rem;letter-spacing:.1em;
text-transform:uppercase;color:var(--a3);border:1px solid var(--a3);
padding:.08rem .38rem;display:inline-block;margin-bottom:.4rem}
.intro-main{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.78rem;color:var(--ink2);
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.intro-main b{color:var(--ink)}
.intro-pills{display:flex;gap:3px;flex-wrap:wrap}
.intro-pill{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.72rem;padding:.15rem .55rem;
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.intro-pill .sn{color:var(--a5);margin-right:.3rem;font-weight:500}
/* STEP ROW */
.step-row{display:grid;grid-template-columns:1fr auto 1fr auto 1fr;
gap:0;background:var(--grid);margin-bottom:1px}
.step-cell{background:var(--panel);padding:.42rem .85rem;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;letter-spacing:.03em}
.step-cell .sn{font-size:.95rem;margin-right:.35rem}
.step-cell.st-bad{border-top:3px solid var(--a1);color:var(--a1)}
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.step-arrow{background:var(--panel);display:flex;align-items:center;
padding:.42rem .55rem;color:var(--ink2);font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.8rem}
/* SECTION HEADER */
.sec-hdr{background:var(--paper);border-bottom:1px solid var(--grid);
padding:.45rem 1rem;font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
letter-spacing:.08em;text-transform:uppercase;color:var(--ink2);
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.sec-hdr-badge{font-size:.65rem;padding:.08rem .35rem;border:1px solid;white-space:nowrap}
.sec-hdr-badge.c3{border-color:var(--a3);color:var(--a3)}
.sec-hdr-badge.c2{border-color:var(--a2);color:var(--a2)}
/* LINK TO GLM */
.glm-link-box{background:var(--panel);border:1.5px solid var(--a3);
padding:.65rem 1rem;font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
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.glm-link-box b{color:var(--ink)}
.glm-link-box a{color:var(--a3);text-decoration:none;border-bottom:1px dotted var(--a3)}
.glm-link-box a:hover{color:var(--a3);border-bottom-style:solid}
/* LEARN CARDS */
#learn{max-width:100%;margin:0 auto 0;padding:0 2rem 3rem;
display:grid;grid-template-columns:1fr 1fr;gap:1px;background:var(--grid)}
.lcard{background:var(--paper);padding:.85rem 1rem}
.lcard-h{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;letter-spacing:.1em;
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.lcard-h.cr{color:var(--a1)}.lcard-h.cg{color:var(--a3)}.lcard-h.co{color:var(--a5)}
.lcard-body{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;color:var(--ink2);line-height:1.78}
.lcard-body b{color:var(--ink)}
.lcard-body code{background:var(--panel);border:1px solid var(--border);
color:var(--a3);padding:.02rem .3rem}
#toast{position:fixed;bottom:1.2rem;right:1.2rem;background:var(--a3);color:#18130e;
font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;padding:.4rem .85rem;
z-index:999;opacity:0;transform:translateY(8px);
transition:opacity .3s,transform .3s;pointer-events:none}
#toast.show{opacity:1;transform:translateY(0)}
/* ── FLOATING HELP PANEL ── */
#help-panel{
display:none;position:fixed;right:1.5rem;top:50%;transform:translateY(-50%);
width:300px;z-index:600;background:var(--paper);border:1.5px solid var(--border);
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}
#help-panel.open{display:block}
.hp-head{display:flex;justify-content:space-between;align-items:center;
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.hp-title{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.58rem;letter-spacing:.1em;
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.hp-close{font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.85rem;background:transparent;
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.hp-close:hover{color:var(--ink)}
.hp-body{padding:.8rem .85rem;font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.67rem;
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.hp-sect{font-size:.52rem;letter-spacing:.1em;text-transform:uppercase;color:var(--ink3);
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.hp-sect:first-child{margin-top:0}
.hp-body strong{color:var(--ink)}
.hp-body em{color:var(--a3);font-style:normal}
.hp-seq{padding-left:.05rem}
.hp-seq li{list-style:none;padding:.08rem 0}
.hp-seq li::before{color:var(--a3);margin-right:.4rem;font-weight:600}
.hp-seq li:nth-child(1)::before{content:'①'}
.hp-seq li:nth-child(2)::before{content:'②'}
.hp-seq li:nth-child(3)::before{content:'③'}
.hp-next{margin-top:.75rem;padding:.4rem .55rem;border-left:3px solid var(--a2);
background:var(--panel);font-size:.65rem;color:var(--ink2)}
</style>
</head>
<body>
<div id="topbar">
<div>
<div class="hdr-h1">Vom LM zum <em>GLM</em></div>
<div class="hdr-sub2">Falsche Likelihood · Passung vergleichen · Linkfunktion · Verteilungswahl</div>
<div class="hdr-auth">© Dr. Rainer Düsing · Interactive Tools by Claude</div>
</div>
<div class="hdr-btns">
<button class="hbtn" onclick="window.open('index_de.html','_self')" style="border-color:var(--a3);color:var(--a3)">← Übersicht</button>
<button class="hbtn" onclick="window.open('GLM_cond_dist.html','_blank')" style="border-color:var(--a2);color:var(--a2)" title="Weiter zu bedingten Verteilungen im GLM">⬡ GLM Verteilungen →</button>
<button class="hbtn" onclick="toggleHelp()" style="border-color:var(--a1);color:var(--a1)">ℹ Hilfe</button>
<button class="hbtn" id="btn-theme" onclick="toggleTheme()">☀ Light</button>
</div>
</div>
<main id="shell">
<div id="wrap">
<!-- INTRO STRIP -->
<div class="intro-strip">
<div class="intro-badge">Drei Szenarien</div>
<div class="intro-main">
OLS-Regression setzt <b>normalverteilte Fehler (errors ε)</b> voraus.
Drei Szenarien aus der Körperbildforschung zeigen, was passiert wenn man es trotzdem erzwingt —
und wie ein GLM mit passender Verteilung die Situation löst.
</div>
<div class="intro-pills">
<span class="intro-pill"><span class="sn">①</span>Therapieerfolg KVT — 0/1 → Bernoulli</span>
<span class="intro-pill"><span class="sn">②</span>Body Checking — Zähldaten → Poisson</span>
<span class="intro-pill"><span class="sn">③</span>Reaktionszeit Stroop — positiv-schief → Gamma</span>
</div>
</div>
<!-- SCENARIO TABS -->
<div class="scen-tabs">
<button class="sctab sel" id="sctab-0" onclick="setScen(0)">
<span class="sct-n">Szenario 1 — Bernoulli</span>
Therapieerfolg nach KVT (0/1)
<span class="sct-warn">⚠</span>
</button>
<button class="sctab" id="sctab-1" onclick="setScen(1)">
<span class="sct-n">Szenario 2 — Poisson</span>
Body Checking (Zähldaten)
<span class="sct-warn">⚠</span>
</button>
<button class="sctab" id="sctab-2" onclick="setScen(2)">
<span class="sct-n">Szenario 3 — Gamma</span>
Reaktionszeit Stroop-Test (ms)
<span class="sct-warn">⚠</span>
</button>
</div>
<!-- NARRATIVE -->
<div class="narr" id="narr-box">
<div class="narr-h"><span class="ntag c1" id="narr-tag">Problem</span></div>
<span id="narr-text"></span>
</div>
<!-- MAIN STAGE -->
<div id="stage-main">
<div class="step-row">
<div class="step-cell st-bad"><span class="sn">①</span>LM — Normalverteilung (falsch)</div>
<div class="step-arrow">→</div>
<div class="step-cell st-good"><span class="sn">②</span>GLM — passende Verteilung (richtig)</div>
<div class="step-arrow">→</div>
<div class="step-cell st-cmp"><span class="sn">③</span>Fit-Vergleich: AIC & Residuen</div>
</div>
<div class="ctrl-bar">
<div class="ctrl-group">
<span class="ctrl-lbl">Stichprobengröße n</span>
<input type="range" id="sl-n" min="20" max="120" step="5" value="50" oninput="updCtrl();drawAll()">
<span class="ctrl-val" id="v-n">50</span>
</div>
<button class="cbtn go" onclick="newSeed()">↺ Neue Daten</button>
</div>
<div class="s-grid-3">
<!-- Left: LM fit (wrong) -->
<div class="s-panel">
<div class="s-title">
LM mit Normalverteilung
<span class="st-badge st-bad" id="lm-badge">⚠ Problematisch</span>
</div>
<canvas id="c-lm" height="416"></canvas>
<div style="margin-top:.5rem">
<div class="stat-row"><span class="stat-lbl">Log-Likelihood (LM)</span><span class="stat-val stat-bad" id="s-lm-ll">—</span></div>
<div class="stat-row"><span class="stat-lbl">AIC (LM)</span><span class="stat-val stat-bad" id="s-lm-aic">—</span></div>
<div id="lm-problems" style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
color:var(--a1);line-height:1.65;margin-top:.4rem;
border-left:3px solid var(--a1);padding-left:.5rem"></div>
</div>
</div>
<!-- Middle: GLM fit (correct) -->
<div class="s-panel">
<div class="s-title">
GLM mit passender Verteilung
<span class="st-badge st-good" id="glm-badge">✓ Besser</span>
</div>
<canvas id="c-glm" height="416"></canvas>
<div style="margin-top:.5rem">
<div class="stat-row"><span class="stat-lbl">Log-Likelihood (GLM)</span><span class="stat-val stat-good" id="s-glm-ll">—</span></div>
<div class="stat-row"><span class="stat-lbl">AIC (GLM)</span><span class="stat-val stat-good" id="s-glm-aic">—</span></div>
<div id="glm-explain" style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
color:var(--ink2);line-height:1.65;margin-top:.4rem;
border-left:3px solid var(--a3);padding-left:.5rem"></div>
</div>
</div>
<!-- Right: Residuals comparison -->
<div class="s-panel">
<div class="s-title">Residuenverteilung & AIC-Vergleich</div>
<canvas id="c-resid" height="416"></canvas>
<div style="margin-top:.5rem">
<div class="stat-row"><span class="stat-lbl">ΔAIC (LM − GLM)</span><span class="stat-val" id="s-daic">—</span></div>
<div class="fit-bar-wrap">
<div class="fit-bar-label">
<span style="color:var(--a1)">■ LM-AIC</span>
<span id="lm-aic-bar-val" style="color:var(--a1)">—</span>
</div>
<div class="fit-bar-bg" style="height:9px;margin-bottom:4px">
<div class="fit-bar-fill" id="bar-lm" style="background:var(--a1)"></div>
</div>
<div class="fit-bar-label">
<span style="color:var(--a3)">■ GLM-AIC</span>
<span id="glm-aic-bar-val" style="color:var(--a3)">—</span>
</div>
<div class="fit-bar-bg" style="height:9px">
<div class="fit-bar-fill" id="bar-glm" style="background:var(--a3)"></div>
</div>
</div>
<div style="margin-top:.6rem;margin-bottom:.25rem;font-family:'DM Mono',monospace;
font-size:.68rem;text-transform:uppercase;letter-spacing:.07em;color:var(--ink2);
border-top:1px solid var(--grid);padding-top:.4rem">
RMSE <span style="text-transform:none;letter-spacing:0;font-size:.7rem">(immer vergleichbar — in y-Einheiten; kleiner = besser)</span>
</div>
<div class="fit-bar-wrap">
<div class="fit-bar-label">
<span style="color:var(--a1)">■ LM-RMSE</span>
<span id="lm-rmse-bar-val" style="color:var(--a1)">—</span>
</div>
<div class="fit-bar-bg" style="height:9px;margin-bottom:4px">
<div class="fit-bar-fill" id="bar-lm-rmse" style="background:var(--a1)"></div>
</div>
<div class="fit-bar-label">
<span style="color:var(--a3)">■ GLM-RMSE</span>
<span id="glm-rmse-bar-val" style="color:var(--a3)">—</span>
</div>
<div class="fit-bar-bg" style="height:9px">
<div class="fit-bar-fill" id="bar-glm-rmse" style="background:var(--a3)"></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div style="background:var(--paper);border:1px solid var(--border);border-top:none;padding:.85rem 1.2rem">
<div id="verdict" style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;
color:var(--ink2);line-height:1.65"></div>
<div id="aic-note" style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.72rem;
color:var(--ink2);margin-top:.5rem;line-height:1.65;border-top:1px solid var(--grid);
padding-top:.4rem"></div>
</div>
</div>
<!-- LINK FUNCTION VISUAL -->
<div class="sec-hdr">
<span class="sec-hdr-badge c3">Linkfunktion</span>
Was die Linkfunktion macht — visuell
</div>
<div style="background:var(--paper);border:1px solid var(--border);border-top:none;margin-bottom:1px;padding:.7rem 1rem">
<div style="display:grid;grid-template-columns:1fr auto 1fr;gap:.5rem;align-items:center">
<div>
<canvas id="c-link-left" height="140" style="display:block;width:100%"></canvas>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;color:var(--ink2);
text-align:center;margin-top:.25rem">
Linearer Prädiktor η = a + b·x<br>
<span style="color:var(--ink2);opacity:.65">Wertebereich: −∞ bis +∞</span>
</div>
</div>
<div style="text-align:center;font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem">
<div style="color:var(--a3);font-size:1rem">→</div>
<div id="link-fn-label" style="font-size:.75rem;color:var(--a3);line-height:1.5;
border:1px solid var(--a3);padding:.15rem .35rem;white-space:nowrap"></div>
</div>
<div>
<canvas id="c-link-right" height="140" style="display:block;width:100%"></canvas>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.75rem;color:var(--ink2);
text-align:center;margin-top:.25rem" id="link-right-label">
E[y] = g⁻¹(η)<br>
<span style="color:var(--ink2);opacity:.65">Wertebereich: eingeschränkt</span>
</div>
</div>
</div>
</div>
<!-- LINK TO GLM TOOLS -->
<div class="glm-link-box">
<b>Weiter erkunden:</b> Diese drei Szenarien sind der konzeptuelle Einstieg.
Das nächste Tool in Section I zeigt, wie GLMs die bedingten Verteilungen korrekt modellieren —
für jede Familie und jeden x-Wert separat.<br>
→ <a href="GLM_cond_dist.html" target="_blank">Bedingte Verteilungen im GLM</a>
·
→ <a href="GLM_3D_visual.html" target="_blank">GLM in 3D</a>
·
→ <a href="GLMM_interactive.html" target="_blank">GLMM interaktiv</a>
</div>
</div><!-- /wrap -->
<!-- LEARN CARDS -->
<div class="sec-hdr" style="margin-top:1.5rem;padding-left:2rem;padding-right:2rem">
<span class="sec-hdr-badge c2">Konzepte</span>
Was du hier lernst
</div>
<div id="learn" style="margin-top:0">
<div class="lcard">
<div class="lcard-h cg">Wie wählt man die richtige Familie — mit Beispielen</div>
<div class="lcard-body">
<b>Schaue auf die Natur der Outcome-Variable:</b><br><br>
<b>Bernoulli</b> (Szenario 1): Hat jemand nach KVT eine klinisch bedeutsame Verbesserung
der Körperbildstörung erreicht? (0=nein, 1=ja). Prädiktor: Therapeutische Allianz
(WAI-S, z-transformiert). Allgemein: binäre Outcomes, Diagnosen, Entscheidungen.<br><br>
<b>Poisson</b> (Szenario 2): Wie oft täglich schaut jemand negativ bewertete
Körperregionen im Spiegel an? (Body Checking, 0, 1, 2, …). Allgemein: Zähldaten,
Ereignishäufigkeiten. Cave: Bei Überdispersion → Negativ-Binomial.<br><br>
<b>Gamma</b> (Szenario 3): Wie lange (ms) braucht jemand im emotionalen Stroop-Test
mit körperbezogenen Wörtern? Allgemein: Reaktionszeiten, Wartezeiten, Kosten —
immer positiv, rechtsschief.<br><br>
<b>Normal/LM:</b> z-standardisierte Fragebogenwerte, IQ, stetige symmetrische Maße
ohne natürlichen Nullpunkt als harte Grenze.<br><br>
Residuen prüfen via Posterior Predictive Check — AIC/BIC für Vergleich
alternativer Familien auf denselben Daten.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Was ist eine Linkfunktion — und warum braucht man sie?</div>
<div class="lcard-body">
<b>Das Problem:</b> Der lineare Prädiktor η = a + b·x kann jeden Wert annehmen
(−∞ bis +∞). Aber viele Outcome-Variablen haben einen eingeschränkten Wertebereich:
Wahrscheinlichkeiten liegen in (0,1), Zählraten müssen positiv sein.<br><br>
<b>Die Lösung:</b> Eine <em>Linkfunktion</em> transformiert den Erwartungswert
in einen Bereich, für den lineare Modellierung sinnvoll ist:<br><br>
<b>Logit-Link</b> (Bernoulli): <code>log(p/(1-p)) = η</code><br>
Der Logit bildet p ∈ (0,1) auf (−∞,+∞) ab. Umgekehrt: jedes η ergibt
ein p = 1/(1+e^(−η)) ∈ (0,1). <em>Die S-Kurve im Plot.</em><br><br>
<b>Log-Link</b> (Poisson, Gamma): <code>log(λ) = η</code><br>
Logarithmus bildet λ > 0 auf (−∞,+∞) ab. Umgekehrt: λ = e^η ist immer
positiv. <em>Die exponentielle Kurve im Plot.</em><br><br>
<b>Identitäts-Link</b> (Normal): <code>E[y] = η</code><br>
Keine Transformation — das LM ist ein GLM-Spezialfall mit Normalverteilung
und Identitätslink.
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h cr">Was passiert wenn man die falsche Likelihood wählt?</div>
<div class="lcard-body">
Das LM minimiert RSS — was äquivalent zur Maximum-Likelihood-Schätzung unter
<b>Normalverteilungsannahme</b> ist. Wenn diese Annahme verletzt ist, sind die
Schätzer zwar noch berechenbar, aber:<br><br>
• Vorhersagen landen außerhalb des gültigen Wertebereichs (p < 0 oder p > 1)<br>
• Die Log-Likelihood ist suboptimal — AIC/BIC schlechter<br>
• Residuen sind systematisch nicht normalverteilt<br>
• Inferenz (Konfidenzintervalle, Tests) ist verzerrt
</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h co">ΔAIC als Entscheidungshilfe</div>
<div class="lcard-body">
AIC bestraft schlechten Fit und Parameteranzahl: <b>AIC = −2ℓ̂ + 2k</b><br><br>
Faustregel für ΔAIC = AIC(LM) − AIC(GLM):<br>
• ΔAIC < 2: kaum Unterschied<br>
• ΔAIC 2–6: moderater Vorteil für GLM<br>
• ΔAIC > 10: starker Vorteil, LM klar schlechter<br><br>
Hier siehst du den ΔAIC live. Bei binären Daten und Zähldaten
ist der Vorteil des GLM typischerweise groß — bei stetigen,
symmetrischen Daten kann das LM ausreichend sein.
</div>
</div>
</div>
</main>
<div id="toast"></div>
<script>
'use strict';
// ── Theme ──────────────────────────────────────────────
let DARK = true;
function toggleTheme(){
DARK=!DARK;
document.documentElement.setAttribute('data-theme',DARK?'dark':'light');
document.getElementById('btn-theme').textContent=DARK?'☀ Light':'🌙 Dark';
localStorage.setItem('btl-theme',DARK?'dark':'light');
drawAll();
}
function cv(v){return getComputedStyle(document.documentElement).getPropertyValue(v).trim();}
function col(n){return cv('--'+n);}
// ── RNG with seed ──────────────────────────────────────
// seed=1544 chosen so the default Bernoulli sample (Szenario 1) gives a
// clear GLM AIC advantage (dAIC~63) instead of a near-tie by chance.
let seed=1544;
function setSeed(s){seed=s;}
function rand(){seed=(seed*1664525+1013904223)&0xffffffff;return((seed>>>0)/4294967296);}
function randNorm(){
const u=Math.max(1e-10,rand()), v=rand();
return Math.sqrt(-2*Math.log(u))*Math.cos(2*Math.PI*v);
}
function randPoisson(lam){
const L=Math.exp(-lam); let k=0,p=1;
do{k++;p*=rand();}while(p>L);
return k-1;
}
// Gamma random: Marsaglia-Tsang method (shape >= 1)
function randGamma(shape, scale){
if(shape < 1) return randGamma(1+shape, scale) * Math.pow(rand(), 1/shape);
const d=shape-1/3, c=1/Math.sqrt(9*d);
while(true){
let x, v;
do{ x=randNorm(); v=1+c*x; }while(v<=0);
v=v*v*v;
const u=rand();
if(u < 1-0.0331*(x*x)*(x*x)) return d*v*scale;
if(Math.log(u) < 0.5*x*x+d*(1-v+Math.log(v))) return d*v*scale;
}
}
function newSeed(){ setSeed(Math.floor(Math.random()*1e6)); drawAll(); }
// ── Scenarios config ───────────────────────────────────
const SCENARIOS = [
{
id:0, name:'Therapieerfolg nach KVT (0/1)',
glmName:'Logistisches Modell (Bernoulli + Logit)',
lmProblem:'<b>Beispiel:</b> Therapieerfolg nach KVT — hat die Person eine klinisch bedeutsame Verbesserung ihrer Körperbildstörung erreicht? (0 = nein, 1 = ja). Prädiktor: Therapeutische Allianz (WAI-S, z-transformiert). Höhere Allianz → höhere Erfolgswahrscheinlichkeit.<br>LM-Vorhersagen verlassen den Bereich [0,1] — als Wahrscheinlichkeit unmöglich.',
glmSolution:'<b>Logit-Link:</b> log(p/(1−p)) = a + b·z(WAI-S) → p bleibt immer in (0,1). Die S-förmige Kurve zeigt: bei höherer therapeutischer Allianz steigt die Erfolgswahrscheinlichkeit. MLE unter Bernoulli-Likelihood.',
residLabel:'Residuen sollen normalverteilt sein — hier unmöglich (nur 0/1)',
narr:{tag:'c1',
text:'<b>Beispiel — Therapieerfolg nach KVT:</b> Hat eine Person nach 12 Sitzungen kognitiver Verhaltenstherapie eine klinisch bedeutsame Verbesserung ihrer Körperbildstörung erreicht? (0 = nein, 1 = ja).<br><br>Prädiktor: Therapeutische Allianz (WAI-S — Working Alliance Inventory, Kurzform, Hatcher & Gillaspy 2006), <b>z-transformiert</b> (x-Achse: SD-Einheiten). Stärkere therapeutische Allianz → höhere Erfolgswahrscheinlichkeit.<br><br><b>Das Problem:</b> Das LM zieht eine Gerade durch 0/1-Daten — <em>und die Gerade verlässt den Bereich [0,1]</em> für extreme WAI-S-Werte. Vorhersagen von 1.3 oder −0.2 sind als Erfolgswahrscheinlichkeiten sinnlos.<br><br><b>Die Lösung:</b> Logistisches Modell (Bernoulli + Logit-Link). Die S-Kurve bleibt immer in (0,1). MLE unter Bernoulli-Likelihood ergibt deutlich besseren AIC.'},
},
{
id:1, name:'Body Checking (Zähldaten)',
glmName:'Poisson-Modell (Log-Link)',
lmProblem:'<b>Beispiel:</b> Body Checking — wie oft schaut eine Person täglich negativ bewertete Körperregionen im Spiegel an? (0, 1, 2, …). Prädiktor: Stärke der Körperbildstörung (BSQ-Score, z-transformiert).<br>LM-Vorhersagen können negativ werden — für Zähldaten unmöglich.',
glmSolution:'<b>Log-Link:</b> log(λ) = a + b·z(BSQ) → λ = e^(a+b·z) immer > 0. Bei höherem z(BSQ) steigt die erwartete Checking-Frequenz exponentiell. Poisson-Likelihood passt zur ganzzahligen Natur der Daten.',
residLabel:'Residuen rechtsskief — Normalverteilungsannahme verletzt',
narr:{tag:'c1',
text:'<b>Beispiel — Body Checking:</b> Wie oft schaut eine Person täglich bestimmte negativ bewertete Körperregionen im Spiegel an? (0, 1, 2, …).<br><br>Prädiktor: Stärke der Körperbildstörung (BSQ — Body Shape Questionnaire), <b>z-transformiert</b> (x-Achse: SD-Einheiten). Höherer BSQ-Wert → häufigeres Checking erwartet.<br><br><b>Das Problem:</b> Zähldaten können nicht negativ sein — das LM kann aber negative Vorhersagen produzieren, besonders bei kleinen erwarteten Häufigkeiten. Die Residuen sind außerdem typisch rechtsschief, nicht normalverteilt.<br><br><b>Die Lösung:</b> Poisson-Modell mit Log-Link. λ = e^(a+b·z) ist immer positiv. Poisson-Likelihood modelliert die diskrete, ganzzahlige Natur der Checking-Häufigkeit korrekt.'},
},
{
id:2, name:'Reaktionszeit Stroop-Test (ms)',
glmName:'Gamma-Modell (Log-Link)',
lmProblem:'<b>Beispiel:</b> Reaktionszeit im emotionalen Stroop-Test mit körperbezogenen Wörtern (ms). Prädiktor: Angstniveau (STAI-State-Score, z-transformiert). RT-Daten sind immer positiv und typisch rechtsschief.<br>LM-Residuen zeigen starke Rechtsschiefe — Normalverteilung passt nicht.',
glmSolution:'<b>Gamma + Log-Link:</b> Gamma-Verteilung ist per Definition auf positive Werte beschränkt und modelliert Rechtschiefe direkt. Höheres z(STAI) → längere, stärker streuende Reaktionszeiten. Log-Link stellt Positivität sicher.',
residLabel:'Rechtsschiefe Residuen beim LM — Gamma-Residuen deutlich symmetrischer',
narr:{tag:'c5',
text:'<b>Beispiel — Reaktionszeit im emotionalen Stroop-Test:</b> Wie lange (ms) benötigt eine Person, um die Farbe eines körperbezogenen Wortes zu benennen?<br><br>Prädiktor: Angstniveau (STAI — State-Trait Anxiety Inventory, State-Skala), <b>z-transformiert</b> (x-Achse: SD-Einheiten). Höheres Angstniveau → längere Reaktionszeit erwartet.<br><br><b>Das Problem:</b> Reaktionszeiten sind immer positiv und typisch rechtsschief. Das LM kann negative Vorhersagen produzieren und die Residuen sind systematisch nicht symmetrisch — die Normalverteilungsannahme ist strukturell verletzt.<br><br><b>Die Lösung:</b> Gamma-Verteilung mit Log-Link. Gamma ist per Definition positiv, modelliert Rechtschiefe direkt, und der AIC-Vergleich zeigt den klaren Vorteil gegenüber dem LM.'},
}
];
let currentScen = 0;
let N=50;
// ── Generate data per scenario ─────────────────────────
function genData(){
const n=N;
const xs=[], ys=[];
for(let i=0;i<n;i++){
const x=-2+i*(4/(n-1));
xs.push(x);
if(currentScen===0){
// Strong logistic effect: β=2.5 → clear S-curve
const p=1/(1+Math.exp(-(0+2.5*x)));
ys.push(rand()<p?1:0);
} else if(currentScen===1){
// Poisson with strong rate increase: λ = exp(0.3 + 1.0*x) → 0.4 to 8
const lam=Math.exp(0.3+1.0*x);
ys.push(randPoisson(lam));
} else {
// Gamma(shape=2, scale=mu/2): proper generation via Marsaglia-Tsang
// shape=2 means clear right skew, mean=mu, variance=mu²/2
const mu=Math.exp(0.4+0.9*x); // mu: ~0.5 to ~5
ys.push(randGamma(2, mu/2));
}
}
return {xs, ys};
}
// ── LM fit (OLS) ───────────────────────────────────────
function fitLM(xs, ys){
const n=xs.length;
const mx=xs.reduce((a,v)=>a+v,0)/n, my=ys.reduce((a,v)=>a+v,0)/n;
const b=(xs.reduce((a,v,i)=>a+(v-mx)*(ys[i]-my),0))/(xs.reduce((a,v)=>a+(v-mx)**2,0));
const a=my-b*mx;
const resid=ys.map((y,i)=>y-(a+b*xs[i]));
const sigma=Math.sqrt(resid.reduce((s,r)=>s+r*r,0)/n);
// Log-likelihood under normal
const ll=resid.reduce((s,r)=>s-0.5*(r/sigma)**2-Math.log(sigma)-0.5*Math.log(2*Math.PI),0);
return {a,b,sigma,resid,ll,aic:-2*ll+2*3}; // 3 params: a,b,sigma
}
// ── GLM fits ───────────────────────────────────────────
// Logistic: Newton-Raphson
function fitLogistic(xs, ys){
let a=0, b=0;
for(let iter=0;iter<20;iter++){
let ga=0,gb=0,haa=0,hab=0,hbb=0;
xs.forEach((x,i)=>{
const p=1/(1+Math.exp(-(a+b*x)));
const r=ys[i]-p, w=p*(1-p);
ga+=r; gb+=r*x;
haa-=w; hab-=w*x; hbb-=w*x*x;
});
const det=haa*hbb-hab*hab;
if(Math.abs(det)<1e-12) break;
a-=(hbb*ga-hab*gb)/det;
b-=(haa*gb-hab*ga)/det;
}
const ll=xs.reduce((s,x,i)=>{
const p=Math.min(1-1e-10,Math.max(1e-10,1/(1+Math.exp(-(a+b*x)))));
return s+(ys[i]===1?Math.log(p):Math.log(1-p));
},0);
const pred=xs.map(x=>1/(1+Math.exp(-(a+b*x))));
const resid=ys.map((y,i)=>y-pred[i]);
return {a,b,ll,pred,resid,aic:-2*ll+2*2};
}
// Poisson: Newton-Raphson
function fitPoisson(xs, ys){
let a=Math.log(Math.max(0.01,ys.reduce((s,v)=>s+v,0)/ys.length)), b=0;
for(let iter=0;iter<30;iter++){
let ga=0,gb=0,haa=0,hab=0,hbb=0;
xs.forEach((x,i)=>{
const mu=Math.exp(a+b*x);
const r=ys[i]-mu;
ga+=r; gb+=r*x;
haa-=mu; hab-=mu*x; hbb-=mu*x*x;
});
const det=haa*hbb-hab*hab;
if(Math.abs(det)<1e-12) break;
a-=(hbb*ga-hab*gb)/det;
b-=(haa*gb-hab*ga)/det;
}
const ll=xs.reduce((s,x,i)=>{
const mu=Math.exp(a+b*x);
let logFact=0; for(let k=2;k<=ys[i];k++) logFact+=Math.log(k);
return s+ys[i]*Math.log(mu)-mu-logFact;
},0);
const pred=xs.map(x=>Math.exp(a+b*x));
const resid=ys.map((y,i)=>y-pred[i]);
return {a,b,ll,pred,resid,aic:-2*ll+2*2};
}
// Gamma: IRLS approximation
function fitGamma(xs, ys){
let a=Math.log(Math.max(0.01,ys.reduce((s,v)=>s+v,0)/ys.length)), b=0;
for(let iter=0;iter<30;iter++){
let ga=0,gb=0,haa=0,hab=0,hbb=0;
xs.forEach((x,i)=>{
const mu=Math.exp(a+b*x);
const r=ys[i]/mu-1; // working residual for gamma log-link
ga+=r; gb+=r*x;
haa-=1; hab-=x; hbb-=x*x;
});
const det=haa*hbb-hab*hab;
if(Math.abs(det)<1e-12) break;
a-=(hbb*ga-hab*gb)/det;
b-=(haa*gb-hab*ga)/det;
}
// Gamma LL with shape=2 (matching data generation)
// LL = (shape-1)*log(y) - y/scale - shape*log(scale) - lgamma(shape)
// shape=2: lgamma(2)=0, so: log(y) - y*2/mu - 2*log(mu/2)
const ll=xs.reduce((s,x,i)=>{
const mu=Math.exp(a+b*x);
const shape=2, scale=mu/shape;
return s+(shape-1)*Math.log(Math.max(1e-10,ys[i]))-ys[i]/scale
-shape*Math.log(scale)-0; // lgamma(2)=log(1!)=0
},0);
const pred=xs.map(x=>Math.exp(a+b*x));
const resid=ys.map((y,i)=>y-pred[i]);
return {a,b,ll,pred,resid,aic:-2*ll+2*2};
}
// ── Canvas helpers ─────────────────────────────────────
// Store panel width once at resize time
let _panelW = 300;
function cachePanelWidth(){
const panels=document.querySelectorAll('.s-panel');
if(panels.length) _panelW=Math.max(200, panels[0].clientWidth-18);
}
function setupCanvas(id,h){
const c=document.getElementById(id);
c.width=_panelW; c.height=h;
return {c,ctx:c.getContext('2d'),W:_panelW,H:h};
}
function fillBg(ctx,W,H){
ctx.fillStyle=DARK?'#0c0f14':'#faf6ee'; ctx.fillRect(0,0,W,H);
}
function drawAxisLines(ctx,W,H,m,xr,yr,xStep,yStep){
ctx.strokeStyle=DARK?'#1e242e':'#ddd5c6'; ctx.lineWidth=1;
const Wp=W-m.l-m.r, Hp=H-m.t-m.b;
const toX=v=>m.l+(v-xr[0])/(xr[1]-xr[0])*Wp;
const toY=v=>H-m.b-(v-yr[0])/(yr[1]-yr[0])*Hp;
for(let v=xr[0];v<=xr[1]+1e-9;v+=xStep){
ctx.beginPath();ctx.moveTo(toX(v),m.t);ctx.lineTo(toX(v),H-m.b);ctx.stroke();
}
for(let v=yr[0];v<=yr[1]+1e-9;v+=yStep){
const py=toY(v); if(py<m.t||py>H-m.b) continue;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(m.l,py);ctx.lineTo(W-m.r,py);ctx.stroke();
}
ctx.fillStyle=DARK?'#2a3a55':'#8a7f72'; ctx.font='13px DM Mono,monospace';
ctx.textAlign='center';
const xLabelStart=Math.ceil(xr[0]/xStep-1e-9)*xStep;
for(let v=xLabelStart;v<=xr[1]+1e-9;v+=xStep){
const vr=Math.round(v*100)/100;
ctx.fillText(vr.toFixed(vr%1?1:0),toX(v),H-m.b+13);
}
ctx.textAlign='right';
for(let v=yr[0];v<=yr[1]+1e-9;v+=yStep*2){
const py=toY(v); if(py<m.t+4||py>H-m.b) continue;
ctx.fillText(v.toFixed(v%1?1:0),m.l-4,py+3);
}
}
// ── Main draw ──────────────────────────────────────────
let cachedData=null, cachedLM=null, cachedGLM=null;
function drawAll(){
N=+document.getElementById('sl-n').value;
document.getElementById('v-n').textContent=N;
// Generate data
cachedData = genData();
const {xs, ys} = cachedData;
// Fit models
cachedLM = fitLM(xs, ys);
if(currentScen===0) cachedGLM=fitLogistic(xs,ys);
else if(currentScen===1) cachedGLM=fitPoisson(xs,ys);
else cachedGLM=fitGamma(xs,ys);
drawLM(xs, ys, cachedLM);
drawGLM(xs, ys, cachedLM, cachedGLM);
drawResid(cachedLM, cachedGLM);
updateStats(cachedLM, cachedGLM);
drawLinkFn();
}
function drawLinkFn(){
// Left: linear predictor space (eta, unbounded)
// Right: response space (transformed, bounded)
const etaRange=[-4,4];
const linkFns={
0:{name:'Logit', inv:e=>1/(1+Math.exp(-e)), yRange:[0,1], yLabel:'p ∈ (0,1)',
formula:'g⁻¹(η) = 1/(1+e⁻η)'},
1:{name:'Log', inv:e=>Math.exp(e), yRange:[0, Math.exp(4)], yLabel:'λ > 0',
formula:'g⁻¹(η) = eη'},
2:{name:'Log', inv:e=>Math.exp(e), yRange:[0, Math.exp(4)], yLabel:'μ > 0',
formula:'g⁻¹(η) = eη'},
};
const lf=linkFns[currentScen];
document.getElementById('link-fn-label').textContent=lf.formula;
document.getElementById('link-right-label').innerHTML=
'E[y] = g⁻¹(η)<br><span style="color:var(--ink2);opacity:.65">'+lf.yLabel+'</span>';
// ── Left panel: linear predictor ──
{
const c=document.getElementById('c-link-left');
c.width=Math.max(100,c.parentElement.clientWidth-4); c.height=140;
const ctx=c.getContext('2d'), W=c.width, H=140;
ctx.fillStyle=DARK?'#0c0f14':'#faf6ee'; ctx.fillRect(0,0,W,H);
const m={l:8,r:8,t:8,b:20};
const Wp=W-m.l-m.r;
const toX=v=>m.l+(v-etaRange[0])/(etaRange[1]-etaRange[0])*Wp;
const cy=H-m.b-((H-m.t-m.b)/2);
// Axis line
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(m.l,cy); ctx.lineTo(W-m.r,cy);
ctx.strokeStyle=DARK?'#2a3a55':'#8a7f72'; ctx.lineWidth=1.5; ctx.stroke();
// Arrows at ends indicating unbounded
[m.l, W-m.r].forEach((x,i)=>{
ctx.beginPath();
if(i===0){ ctx.moveTo(x+12,cy-5);ctx.lineTo(x,cy);ctx.lineTo(x+12,cy+5); }
else { ctx.moveTo(x-12,cy-5);ctx.lineTo(x,cy);ctx.lineTo(x-12,cy+5); }
ctx.strokeStyle=DARK?'#2a3a55':'#8a7f72'; ctx.lineWidth=1.5; ctx.stroke();
});
// Tick marks and labels
ctx.fillStyle=DARK?'#2a3a55':'#8a7f72'; ctx.font='13px DM Mono,monospace';
ctx.textAlign='center';
[-4,-2,0,2,4].forEach(v=>{
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(toX(v),cy-3); ctx.lineTo(toX(v),cy+3);
ctx.strokeStyle=DARK?'#2a3a55':'#8a7f72'; ctx.lineWidth=1; ctx.stroke();
ctx.fillText(v, toX(v), cy+12);
});
ctx.fillText('−∞', m.l+4, cy+12);
ctx.fillText('+∞', W-m.r-4, cy+12);
// GLM's linear predictor dots (sample x values mapped through a+b*x)
if(cachedGLM){
const sampleX=[-2,-1,0,1,2];
sampleX.forEach(x=>{
const eta=cachedGLM.a+cachedGLM.b*x;
const etaC=Math.max(etaRange[0], Math.min(etaRange[1], eta));
ctx.beginPath(); ctx.arc(toX(etaC),cy,5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle=DARK?'#2bc7c4':'#0e7c7b'; ctx.fill();
});
}
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(43,199,196,.7)':'rgba(14,124,123,.65)';
ctx.font='13px DM Mono,monospace'; ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('η = a + b·x (unbegrenzt)', W/2, m.t+10);
}
// ── Right panel: transformed space ──
{
const c=document.getElementById('c-link-right');
c.width=Math.max(100,c.parentElement.clientWidth-4); c.height=140;
const ctx=c.getContext('2d'), W=c.width, H=140;
ctx.fillStyle=DARK?'#0c0f14':'#faf6ee'; ctx.fillRect(0,0,W,H);
const m={l:8,r:8,t:8,b:20};
const Wp=W-m.l-m.r;
if(currentScen===0){
// Probability space [0,1] as bar
const barY=H-m.b-12, barH=14;
// Full bar background
ctx.fillStyle=DARK?'#1e242e':'#ddd5c6';
ctx.fillRect(m.l, barY, Wp, barH);
// Valid zone (0,1) = full width
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(43,199,196,.25)':'rgba(14,124,123,.2)';
ctx.fillRect(m.l, barY, Wp, barH);
ctx.strokeStyle=DARK?'#2bc7c4':'#0e7c7b'; ctx.lineWidth=1.5;
ctx.strokeRect(m.l, barY, Wp, barH);
// Labels
ctx.fillStyle=DARK?'#2bc7c4':'#0e7c7b'; ctx.font='13px DM Mono,monospace';
ctx.textAlign='left'; ctx.fillText('0', m.l+2, barY-3);
ctx.textAlign='right'; ctx.fillText('1', W-m.r-2, barY-3);
// Sample points (same x values)
if(cachedGLM){
const sampleX=[-2,-1,0,1,2];
sampleX.forEach(x=>{
const p=1/(1+Math.exp(-(cachedGLM.a+cachedGLM.b*x)));
const px=m.l+p*Wp;
ctx.beginPath(); ctx.arc(px, barY+barH/2, 5, 0, Math.PI*2);
ctx.fillStyle=DARK?'#2bc7c4':'#0e7c7b'; ctx.fill();
});
}
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(43,199,196,.7)':'rgba(14,124,123,.65)';
ctx.textAlign='center'; ctx.fillText('p = 1/(1+e⁻η) ∈ (0,1)', W/2, m.t+10);
} else {
// Positive space (0, ∞)
const axis_y=H-m.b-8;
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(m.l,axis_y); ctx.lineTo(W-m.r,axis_y);
ctx.strokeStyle=DARK?'#2a3a55':'#8a7f72'; ctx.lineWidth=1.5; ctx.stroke();
// Arrow right indicating +∞
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(W-m.r-12,axis_y-5);ctx.lineTo(W-m.r,axis_y);ctx.lineTo(W-m.r-12,axis_y+5);
ctx.stroke();
// Hard stop at 0
ctx.beginPath(); ctx.moveTo(m.l,axis_y-12); ctx.lineTo(m.l,axis_y+4);
ctx.strokeStyle=DARK?'rgba(232,97,74,.7)':'rgba(201,74,42,.65)';
ctx.lineWidth=2; ctx.stroke();
// Sample dots
const maxVal=Math.exp(4);
if(cachedGLM){
const sampleX=[-2,-1,0,1,2];
sampleX.forEach(x=>{
const mu=Math.exp(cachedGLM.a+cachedGLM.b*x);
const px=m.l+Math.min(Wp, mu/maxVal*Wp);
ctx.beginPath(); ctx.arc(px, axis_y, 5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle=DARK?'#2bc7c4':'#0e7c7b'; ctx.fill();
});
}
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(43,199,196,.7)':'rgba(14,124,123,.65)';
ctx.font='13px DM Mono,monospace'; ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('μ = eη > 0 (nie negativ)', W/2, m.t+10);
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(232,97,74,.7)':'rgba(201,74,42,.65)';
ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('0 ←Grenze', m.l+3, axis_y-15);
}
}
}
function drawLM(xs, ys, lm){
const sc=SCENARIOS[currentScen];
const {ctx,W,H}=setupCanvas('c-lm',416);
const m={l:42,r:12,t:16,b:32};
const Wp=W-m.l-m.r, Hp=H-m.t-m.b;
fillBg(ctx,W,H);
const xr=[-2.2,2.2];
const yMin=Math.min(...ys)-0.5, yMax=Math.max(...ys)+0.5;
const yr=[Math.min(yMin, lm.a+lm.b*xr[0], lm.a+lm.b*xr[1])-0.2,
Math.max(yMax, lm.a+lm.b*xr[0], lm.a+lm.b*xr[1])+0.2];
// Clamp yr sensibly
const yrFinal=[Math.max(yr[0],-1.5), Math.min(yr[1], currentScen===0?1.8:Math.max(yMax*1.3,yr[1]))];
const yStep=+(Math.max(0.5,(yrFinal[1]-yrFinal[0])/5)).toFixed(1);
drawAxisLines(ctx,W,H,m,xr,yrFinal,0.5,yStep);
const toX=v=>m.l+(v-xr[0])/(xr[1]-xr[0])*Wp;
const toY=v=>H-m.b-(v-yrFinal[0])/(yrFinal[1]-yrFinal[0])*Hp;
// Reference lines for binary/count
if(currentScen===0){
// y=0 and y=1 boundaries
[0,1].forEach(y=>{
ctx.beginPath();ctx.moveTo(m.l,toY(y));ctx.lineTo(W-m.r,toY(y));
ctx.strokeStyle=DARK?'rgba(128,203,82,.35)':'rgba(90,138,42,.3)';
ctx.lineWidth=1;ctx.setLineDash([4,3]);ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
});
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(128,203,82,.5)':'rgba(90,138,42,.45)';
ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('Gültig: [0, 1]',m.l+4,toY(0.5));
}
// Out-of-range zone (red)
if(currentScen===0){
const yAbove=toY(1), yBelow=toY(0);
if(yAbove>m.t){
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(232,97,74,.07)':'rgba(201,74,42,.06)';
ctx.fillRect(m.l,m.t,Wp,yAbove-m.t);
}
if(yBelow<H-m.b){
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(232,97,74,.07)':'rgba(201,74,42,.06)';
ctx.fillRect(m.l,yBelow,Wp,H-m.b-yBelow);
}
}
// LM regression line
const lmColor=DARK?'#e8614a':'#c94a2a';
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(toX(xr[0]),toY(lm.a+lm.b*xr[0]));
ctx.lineTo(toX(xr[1]),toY(lm.a+lm.b*xr[1]));
ctx.strokeStyle=lmColor; ctx.lineWidth=2.2; ctx.stroke();
// Warn if line exits valid range
const predMin=lm.a+lm.b*xr[0], predMax=lm.a+lm.b*xr[1];
if(currentScen===0 && (predMin<0||predMax>1||predMin>1||predMax<0)){
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(232,97,74,.85)':'rgba(201,74,42,.8)';
ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('⚠ Vorhersagen außerhalb [0,1]',W/2,m.t+10);
}
if(currentScen>=1 && (predMin<0||predMax<0)){
ctx.fillStyle=DARK?'rgba(232,97,74,.85)':'rgba(201,74,42,.8)';
ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('⚠ Negative Vorhersagen möglich',W/2,m.t+10);
}
// Data points
const isJitter=currentScen===0;
xs.forEach((x,i)=>{
const jitter=isJitter?(rand()-0.5)*0.05:0;
const cy=toY(ys[i]+jitter);
if(cy<m.t-5||cy>H-m.b+5) return;
ctx.beginPath();ctx.arc(toX(x),cy,3.5,0,Math.PI*2);
ctx.fillStyle=ys[i]===1&¤tScen===0
?(DARK?'rgba(74,176,216,.7)':'rgba(42,110,138,.6)')
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