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<!doctype html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
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<title>Delaunay Refinement Algorithms</title>
<link rel="stylesheet" href="css/reveal.css">
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<!-- Theme used for syntax highlighting of code -->
<link rel="stylesheet" href="lib/css/zenburn.css">
<!-- Printing and PDF exports -->
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var link = document.createElement( 'link' );
link.rel = 'stylesheet';
link.type = 'text/css';
link.href = window.location.search.match( /print-pdf/gi ) ? 'css/print/pdf.css' : 'css/print/paper.css';
document.getElementsByTagName( 'head' )[0].appendChild( link );
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<!-- Geometry Graph Delaunay Stuff -->
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.source {
font-size: 0.5em !important;
padding-left: 50px !important;
}
</style>
</head>
<body>
<div class="reveal">
<div class="slides">
<section data-markdown>
<textarea data-template>
# Delaunay Verfeinerung
Christian Weber, Moritz Rieger
Hagen, 23.02.2018
</textarea>
</section>
<section id="key" data-state="key">
<h2>Delaunay Verfeinerung</h2>
<canvas class="center-block" width="900" height="500"></canvas>
<sup>[1]</sup>
<div>
<a onclick="refineKey(true)">Verfeinerung starten</a>
</div>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Inhalt
- Wofür braucht man Delaunay Graphen?
- Was ist ein Delaunay Graph?
- Grundbegriffe
- Rupperts Verfeinerungsalgorithmus
- Chews Verfeinerungsalgorithmus
- Zusammenfassung und Ausblick
</textarea>
</section>
<!-- MOTIVATION -->
<section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Wofür braucht man Delaunay Graphen?
</textarea>
</section>
<section>
<h3>Finite Elemente Methode</h3>
<img src="assets/img/fem-pump.png">
<sup>[2]</sup>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### 3D Computer Grafik
<sup>[3]</sup>
</textarea>
</section>
<section>
<h3>Gesichtserkennung</h3>
<iframe width="840" height="560" src="https://www.youtube.com/embed/Zes2LivGozI?rel=0&controls=0&showinfo=0" frameborder="0" gesture="media" allow="encrypted-media" allowfullscreen></iframe>
<sup>[5]</sup>
<aside class="notes">
Kann auch zur Gesichtserkennung verwendet werden.
Histogramm über die Flächen der Dreiecke zum abgleich.
http://image.cse.nsysu.edu.tw/ServerPaper/19/The%20Application%20of%20Delaunay%20Triangulation%20to%20Face%20Recognition.pdf
</aside>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Und weil es einfach gut aussieht!
 
<sup>[6]</sup>
</textarea>
</section>
</section>
<!-- EINFÜHRUNG -->
<section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Was ist ein Delaunay Graph?
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Ausgangslage
### Planar Straight Line Graph
- Knoten
- Segmente
- segment-gebunden
- in einer Ebene
<sup>[7]</sup>
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### PSLG triangulieren
 
<sup>[7]</sup>
</textarea>
</section>
<section>
<h6>Sichtbarkeit im PSLG</h6>
<div class="ggb" id="sdqkCncf"></div>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Was macht Delaunay Graphen so besonders?
</textarea>
</section>
<section>
<h3>Delaunay Triangulation</h3>
<h5>Umkreisbedingung</h5>
<div class="ggb" id="GpjaA7B9"></div>
</section>
<section>
<h3>Constrained Delaunay Triangulation</h3>
<!--TODO @chris sichtbarkeit von Punkten erklären!-->
<div class="ggb" id="qKBrMvjR"></div>
</section>
</section>
<!-- GRUNDBEGRIFFE -->
<section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Grundbegriffe
</textarea>
</section>
<section>
<h2>Encroached Subsegments</h2>
<div class="ggb" id="E975hBTQ"></div>
</section>
<section>
<h2>Skinny Triangles</h2>
<p>Verhältnis von Umkreisradius zur kürzesten Kante<p>
<div class="ggb" id="D7XYwPfW"></div>
<aside class="notes">
Punkt E bewegen
</aside>
</section>
</section>
<!-- RUPPERT -->
<section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Rupperts Verfeinerungsalgorithmus
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Input
Constrained Delaunay Graph
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Ablauf
1. Teile encroached subsegments
2. Entferne skinny triangles
</textarea>
</section>
<section>
<h3>1. encroached subsegments teilen</h3>
<div class="ggb" id="dCUjJyYC"></div>
</section>
<section>
<h3>2. skinny triangles entfernen</h3>
<h4>1. Fall - durch den neuen Knoten enstehen encroached subsegments</h4>
<div class="ggb" id="AV8DJmbp"></div>
<aside class="notes">
neue skinny triangles können enstehen!
<!--TODO eine Kante in der ggb app fehlt-->
</aside>
</section>
<section>
<h3>2. skinny triangles entfernen</h3>
<h4>2. Fall - durch den neuen Knoten enstehen keine encroached subsegments</h4>
<!-- TODO Linienstärken bei allen Grafiken konsistent-->
<div class="ggb" id="vkQTJpFb"></div>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Terminierungsbeweis
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
Beim entfernen von Skinny Triangles können neue Skinny Triangles entstehen.
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Idee
Zeigen, dass eine untere Schranke für die Länge neuer Kanten existiert.
</textarea>
</section>
<section>
<h4>Gilt nur unter diesen Bedingungen:</h4>
<div>
<ul>
<li>Schranke \( B \ge \sqrt{2}\)</li>
<li>kein Winkel \( \alpha \le 60 \)°</li>
</ul>
</div>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Sorry
wir benötigen noch einige Definitionen
</textarea>
</section>
<section>
<h3>Local feature size - lfs</h3>
<p>Radius des kleinsten Umkreises eines Punktes welcher zwei nicht inzidente Merkmale enthält</p>
<!-- <p> \( lfs(v) \le lfs(u) + |uv| \)</p> -->
<div class="ggb" id="fTUzuQZh"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
local feature size eines Punktes v ist durch lfs(u)+|uv| begrenzt
- nur v bewegen!
- wichtig.
</aside>
</section>
<section>
<h3>Einfügeradius</h3>
<p>Länge der kürzesten Kante an einem Knoten v nachdem er eingefügt wurde.</p>
<aside class="notes" data-markdown>
Abhängig von der Art des Knotens bzw. weshalb der Knoten eingefügt wurde.
Genau zu dem **Zeitpunkt**.
Kürzeste Kante die durch den Knoten entstehen kann.
</aside>
</section>
<section>
<h3>Einfügeradius</h3>
<h4>Eingabeknoten (PSLG)</h4>
<img src="assets/img/ruppert/insertion-radius-1.png">
<sup>[7]</sup>
<aside class="notes" data-markdown>
kürzeste Distanz zum nächsten Input Knoten
</aside>
</section>
<section>
<h3>Einfügeradius</h3>
<h4>Segmentknoten (encroached subsegment)</h4>
<img src="assets/img/ruppert/insertion-radius-2.png">
<sup>[7]</sup>
<aside class="notes">
Distanz zum nächsten verursachenden knoten
</aside>
</section>
<section>
<h3>Einfügeradius</h3>
<h4>verworfene Knoten (skinny triangle)</h4>
<img src="assets/img/ruppert/insertion-radius-3.png">
<sup>[7]</sup>
<aside class="notes">
Da Verursacher nichtmehr vorhanden rv ist Länge eines entstandenen Subsegments
</aside>
</section>
<section>
<h3>Einfügeradius</h3>
<h4>freie Knoten (skinny triangle)</h4>
<img src="assets/img/ruppert/insertion-radius-4.png">
<sup>[7]</sup>
<aside class="notes">
Umkreis des skinny triangles aufgrunddessen v eingefügt wurde
</aside>
</section>
<section>
<h3>Elternknoten</h3>
<h4>beschreiben Herkunft eines Knotens</h4>
<img src="assets/img/ruppert/rup-parent-vertices.png">
<sup>[7]</sup>
<aside class="notes" data-markdown>
- input knoten -> haben keinen Elternknoten
- segment Knoten -> p(v) verursachender Knoten
- freie Knoten (skinny) -> p(v) zuletzt eingefu ̈gte Knoten auf der ku ̈rzesten Kante des Dreiecks.
So entsteht die *Geschichte* des Graphen
</aside>
</section>
<section>
<h4>Änderung des Einfügeradius bei Kinderknoten</h4>
<img src="assets/img/ruppert/rup-flowchart.png">
<sup>[7]</sup>
<div>
<ul>
<li>Schranke \( B \ge \sqrt{2}\)</li>
<li>kein Winkel \( \alpha \le 60 \)°</li>
</ul>
</div>
<aside class="notes" data-markdown>
- sqrt(2)/sqrt(2) = 1
- cos(60) = 1/2 ->
</aside>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Woher kommen diese Werte?
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
Dazu betrachten wir die Beziehung der Einfügeradien zwischen Eltern und Kinderknoten.
</textarea>
</section>
<section>
<h4>freie Kinderknoten</h4>
<img src="assets/img/ruppert/flow-free-vertices.png">
<sup>[7]</sup>
</section>
<section>
<h4>freie Kinderknoten</h4>
<p>\( B = \frac{Umkreisradius}{kürzeste Kante} = \frac{r_v}{r_p} \ge \sqrt{2}\)</p>
<p>\(r_v \ge B*r_p\)</p>
<div class="ggb" id="QFJFVSXu"></div>
<aside class="notes">
p ist Elternknoten
Formel logisch durchgehen
</aside>
</section>
<section>
<h4>Segment Kinderknoten mit freien Elternknoten</h4>
<img src="assets/img/ruppert/flow-free2segment.png">
<sup>[7]</sup>
</section>
<section>
<h4>Segment Knoten aufgrund verworfener Elternknoten</h4>
<p><span>\( r_p = cos(\alpha) * 2r_v\)</span><span style="padding-left: 100px;">\( cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)</span></p>
<p>\( r_v \ge \frac{r_p}{2cos(\alpha)} \ge \frac{1}{\sqrt(2)} * rp \)</p>
<div class="ggb" id="asjMqdrG"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
P wurde aufgrund eines skinny triangles t eingefügt
Da der PSLG constrained delaunay ist, müssen die endpunkte von s außerhalb des Umkreises von t liegen.
</aside>
</section>
<section>
<h4>Segment Kinderknoten mit Segment Elternknoten</h4>
<img src="assets/img/ruppert/flow-segment2segment.png">
<sup>[7]</sup>
</section>
<section>
<h4>Kindknoten von Segment Knoten</h4>
<p>p und v auf inzidenten Segmenten \( 45° \le \alpha < 90° \) </p>
<p>\( r_v > \frac{r_p}{2\cos{\alpha}} \)</p>
<div class="ggb" id="CD56Amyj"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
s is encroached by p
Winkel s, rp is fix
rp/rv wird dann am kleinsten, wenn p auf dem Durchmesserkreis von s liegt
basic Trigonometry s = rp / cos(alpha) -> rv ist halb so groß! rp/2 cos(alpha)
</aside>
</section>
<!--TODO - überprüfen ob man das nicht weglassen kann, da Winkel kleiner 60 eh ausgeschlossen sind!?-->
<!--
<section>
<h4>Kindknoten von Segment Knoten</h4>
<p>p und v auf inzidenten Segmenten \( \alpha \le 45° \) </p>
<p>\( r_v \ge r_p * sin(\alpha) \)</p>
<div class="ggb" id="z5VVcUMA"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
</aside>
</section>
-->
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Was ist mit Kindern von Input Knoten?
</textarea>
</section>
<!--
<section>
<h4>freie Kinderknoten von Input-Knoten</h4>
<p>\( r_v \ge lfs(v) \)</p>
<div class="ggb" id="H6yqzYD4"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
v ist umkreismittelpunkt von skinny triangle
#### r_p bei input ist kürzeste Distanz zum nächsten Knoten
- kein kinds eines Mesh-Knotens hat einen Einfügeradius, der kleiner ist als der eigene Einfügungsradius
- es sei denn, die lfs des kinds ist noch kleiner
**Daher wird niemals eine Kante erscheinen, die kürzer ist als die kleinste lfs im PSLG**
</aside>
</section>
-->
<section>
<h4>Segment Kinderknoten mit</h4>
<ul>
<li>Input Elternknoten</li>
<li>oder einem Knoten der nicht inzident zu s ist</li>
</ul>
<p>\( r_v \ge lfs(v) \)</p>
<div class="ggb" id="s5uAXEVh"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
lfs ist immer kleiner gleich als rv bewege punkt p innerhalb des Durchmesserkreises
</aside>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Was bedeutet das alles?
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
- Einfügeradien von Kindknoten können nicht immer kleiner werden, als die der Eltern.
- Außer die local feature size des Kindknotens ist kleiner.
⇒ untere Grenze für neue Kanten ist die kleinste lfs im PSLG!
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
Dadurch ist bewiesen, dass der Algorithmus terminiert.
</textarea>
</section>
<!--
<section>
<h3>Laufzeit</h3>
</section>
<section>
<h5>CDT: \( O(n log(n)) \)</h5>
<h5>Ruppert average: \( O(n) \)</h5>
<p>n ist Anzahl zusätzlich eingefügter Knoten</p>
<h5>Ruppert worstcase : \( O (h^2) \)</h5>
<p>h ist die Größe des fertigen Delaunay Graphen</p>
</section>
-->
</section>
<!-- CHEW -->
<section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Chews Verfeinerungsalgorithmus
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Vorteile gegeüber Rupperts Algorithmus:
garantierter Mindestwinkel steigt von **20,7°** auf **26,5°**
⇒ gleichmäßigere Dreiecke
<div class="ggb" id="sbV9FKTj"></div>
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Vorteile gegenüber Rupperts Algorithmus:
es werden unter gegebenen Vorraussetzungen deutlich weniger Dreiecke erzeugt
⇒ insgesamt höhere Triangulationsqualität
<img src="assets/img/chew/num_segment_splits.png">
<sup>[7]</sup>
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Nachteil gegenüber Rupperts Algorithmus:
es wird nur eine Constrained Delauay Triangulation garantiert
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Input
Constrained Delaunay Graph
</textarea>
</section>
<section>
<div>
<h4>Ablauf</h4>
<s>1. Teile encroached subsegments</s>
<br>1. Skinny triangles entfernen</br>
</div>
</section>
<section>
<div>
<h5>Entferne skinny triangles</h5>
<h7><b>1. Fall:</b> Normales Vorgehen</h7>
</div>
<div class="ggb" id="ruWnqPhf"></div>
</section>
<section>
<div>
<h5>Entferne skinny triangles</h5>
<p><b>2. Fall:</b> ein oder mehrere Subsegmente befinden sich zwischen dem skinny </br> triangle und dem Umkreismittelpunkt</p>
</div>
<div class="ggb" id="ZUPQBh9U"></div>
<p>Alle freien Knoten innerhalb des Durchmesserkreis werden entfernt</p>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Terminierungsbeweis
Der Beweis kann genauso wie der für Rupperts Algorithmus geführt werden
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Idee
Zeigen, dass eine untere Schranke für die Länge neuer Kanten existiert.
</textarea>
</section>
<section>
<h4>Eine Termininierung ist nur unter diesen Bedingungen garantiert:</h4>
<div>
<ul>
<li>Schranke \( B \ge \sqrt{5}/2=1.12\)</li>
<li>kein Winkel \( \alpha \le 60 \)°</li>
</ul>
</div>
</section>
<section>
<h4>Änderung des Einfügeradius bei Kinderknoten</h4>
<img src="assets/img/chew/flow-chew.png">
<sup>[7]</sup>
<div>
<ul>
<li>Schranke \( B \ge \sqrt{5}/2\)</li>
<li>kein Winkel \( \alpha \le 60 \)°</li>
</ul>
</div>
</section>
<section>
<h4>freie Kinderknoten</h4>
<img src="assets/img/chew/flow-chew-2free.png">
<sup>[7]</sup>
</section>
<!-- TODO ggb applet machen -->
<section>
<h4>freie Kinderknoten</h4>
<p>\( B = \frac{Umkreisradius}{kürzeste Kante} = \frac{r_v}{r_p} \ge \sqrt{5}/2\)</p>
<p>\(r_v \ge B*r_p\)</p>
<div class="ggb" id="xW7jTZTy"></div>
<aside class="notes">
p ist Elternknoten
Formel logisch durchgehen
</aside>
</section>
<section>
<h4>Segment Kinderknoten mit freien Elternknoten</h4>
<img src="assets/img/chew/flow-chew-free2seg.png">
<sup>[7]</sup>
</section>
<section>
<h4>Segment Kinderknoten mit freien Elternknoten</h4>
<p>\(\theta = 26.5° = \arcsin \frac{1}{2B} \)</p>
<div class="ggb" id="B2MGBsYS"></div>
</section>
<section>
<h4>Segment Kinderknoten mit Segment Elternknoten</h4>
<img src="assets/img/chew/flow-chew-seg2seg.png">
<sup>[7]</sup>
</section>
<section>
<h4>Kindknoten von Segment Knoten</h4>
<p>p und v auf inzidenten Segmenten \( 45° \le \alpha < 90° \) </p>
<p>\( r_v > \frac{r_p}{2\cos{\alpha}} \)</p>
<div class="ggb" id="AY5wy4JR"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
s is encroached by p
Winkel s, rp is fix
rp/rv wird dann am kleinsten, wenn p auf dem Durchmesserkreis von s liegt
basic Trigonometry s = rp / cos(alpha) -> rv ist halb so groß! rp/2 cos(alpha)
</aside>
</section>
<section>
<h4>freie Kinderknoten von Input-Knoten</h4>
<p>\( r_v \ge lfs(v) \)</p>
<div class="ggb" id="qxaCDXHJ"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
v ist umkreismittelpunkt von skinny triangle
#### r_p bei input ist kürzeste Distanz zum nächsten Knoten
- kein kinds eines Mesh-Knotens hat einen Einfügeradius, der kleiner ist als der eigene Einfügungsradius
- es sei denn, die lfs des kinds ist noch kleiner
**Daher wird niemals eine Kante erscheinen, die kürzer ist als die kleinste lfs im PSLG**
</aside>
</section>
<section>
<h4>Segment Kinderknoten von Input Elternknoten</h4>
<p>\( r_v \ge lfs(v) \)</p>
<div class="ggb" id="MTfRrh2v"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
v ist umkreismittelpunkt von skinny triangle
#### r_p bei input ist kürzeste Distanz zum nächsten Knoten
- kein kinds eines Mesh-Knotens hat einen Einfügeradius, der kleiner ist als der eigene Einfügungsradius
- es sei denn, die lfs des kinds ist noch kleiner
**Daher wird niemals eine Kante erscheinen, die kürzer ist als die kleinste lfs im PSLG**
</aside>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
### Es gilt also die gleiche Schlussfolgerung wie schon bei Rupperts Algorithmus
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
- Einfügeradien von Kindknoten können nicht immer kleiner werden, als die der Eltern.
- Außer die local feature size des Kindknotens ist kleiner.
⇒ untere Grenze für neue Kanten ist die kleinste lfs im PSLG!
</textarea>
</section>
</section>
<!-- Zusammenfassung -->
<section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
## Zusammenfassung und Ausblick
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Zusammenfassung
Delaunay Triangulationen sind für viele Anwendungen von großer Bedeutung:
- Finite Elemente Methoden
- Computer Grafik
- Tracking
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Zusammenfassung
Die Algorithmen von Ruppert und Chew gehören zu den etabliertesten Verfahren der Delaunay Triangulation
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Zusammenfassung
Durch das Entfernen von Knoten aus der Triangulation schafft Chew eine Verbesserung des Mindestwinkels von **20,7°** auf **26,5°**
und zerteilt dabei weniger Segmente
**⇒ bessere Triangulationsqualität**
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Ausblick
In der Praxis stellen kleine Winkel ein großes Problem für hochwertige Triangulationen dar
</textarea>
</section>
<section data-markdown>
<textarea data-template>
#### Ausblick
**Shewchuk JR.** stellt in seinem Paper
**Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh Generation**
Methoden vor wie man mit kleinen Winkeln umgehen kann
⇒ diese setzt er in seinem **Terminator** Algorithmus um und erreicht einen garantierten Mindestwinkel von **30°**
</textarea>
</section>
</section>
<!-- Quellen -->
<section>
<h2>Quellen</h2>
<div class="sources">
<p style="text-align:left" class="source">[1] https://github.com/mkacz91/Triangulations - Triangulations Algorithmus</p>
<p style="text-align:left" class="source">[2] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Elmer-pump-heatequation.png
<br> - FEM Modell einer Wärmepumpe</br></p>
<p style="text-align:left" class="source">[3] http://www.cs.mun.ca/~omeruvia/philosophy/WireframeBunny.html - 3D Bunny</p>
<p style="text-align:left" class="source">[4] https://straypixels.net/delaunay-triangulation-terrain - Terrain Generation</p>
<p style="text-align:left" class="source">[5] https://www.youtube.com/embed/Zes2LivGozI?rel=0 - Face Tracking</p>
<p style="text-align:left" class="source">[6] http://hendrix.glitchartistscollective.com/post/95855206421/fifty-frames-of-twig - Art</p>
<p style="text-align:left" class="source">[7] Shewchuk JR. Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh Generation.
<br> - Computational Geometry. 2002;22:21–74.</br></p>
</div>
</section>
<section id="ty" data-state="ty">
<canvas class="center-block" width="900" height="800"></canvas>
<sup>[1]</sup>
</section>
<section>
<section>
## Outtakes
</section>
<section>
<h3>Wieso in dieser Reihenfolge?</h3>
</section>
<section>
<p>Wenn keine encroached subsegments vorhanden sind, liegen neue Knoten immer innerhalb des Graphen</p>
<div class="ggb" id="NS2jCyfX"></div>
<aside class="notes" data-markdown>
**Annahme**
Alle Kanten des Dreiecks sind Subsegmente!! (segmentgebunden)
**Vorraussetzungen:**
- Triangulation ist segement-gebunden
- keine encroached subsegments mehr
- v liegt innerhalb von t
- Schwerpunkt c immer innerhalb
**Widerspruchsbeweis:**
- V liegt ausserhalb
- cv muss segment s schneiden
- Teil des Umkreises von t auf selber seite von c wie s muss im Durchmesserkreis von s liegen
- es können aber nur max. 2 Punkte von t (Endpunkte von s) auf dem Druchmesserkreis von s liegen.
- mind. 1 Punkt liegt also im Durchmesserkreis -> **Widerspruch - keine encroached subsegments**
</aside>
</section>
</section>
</div>
</div>
</body>
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