样条基函数

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概览（Overview）

样条模块提供 bspline_basis、natural_cubic_spline_basis、cyclic_cubic_spline_basis、thin_plate_spline_basis 以及 sklearn 风格的 SplineTransformer。这些接口支持 NumPy、CuPy 和 Torch；SplineTransformer 使用后端原生 Cox–de Boor 递推。

使用这些基函数的广义可加模型（GAM）请参见 GAM。

路径（Path）

statgpu.nonparametric.splines.bspline_basis
statgpu.nonparametric.splines.natural_cubic_spline_basis
statgpu.nonparametric.splines.cyclic_cubic_spline_basis
statgpu.nonparametric.splines.thin_plate_spline_basis
statgpu.nonparametric.splines.SplineTransformer

目标函数（Objective Function）

B 样条基通过 De Boor 递归计算。零次基函数为：

$$ B_{i,0}(x) = \begin{cases} 1 & \text{若 } t_i \le x < t_{i+1} \ 0 & \text{其他} \end{cases} $$

对于次数 $k \ge 1$：

$$ B_{i,k}(x) = w_1 , B_{i,k-1}(x) + (1 - w_2) , B_{i+1,k-1}(x) $$

其中

$$ w_1 = \frac{x - t_i}{t_{i+k} - t_i}, \qquad w_2 = \frac{x - t_{i+1}}{t_{i+k+1} - t_{i+1}} $$

约定 $0/0 = 0$。

自然三次样条基：将三次 B 样条基投影到边界二阶导数约束（$f'' = 0$，在两个边界节点处）的零空间上。与对应的普通 B 样条基相比，基的维度减少 2。

周期三次样条在两端约束函数值、一阶导数与二阶导数连续。 薄板样条使用径向核；二维且惩罚阶数为 2 时为 (\phi(r)=r^2\log r)。

SplineTransformer 为每个特征学习 uniform、quantile 或自定义节点，并支持：

error：超出边界时报错；
constant：钳制到边界；
linear：沿边界切线延拓；
continue：继续边界处的多项式片段。

估计方程（Estimating Equation）

评估采用直接递推，无需求解回归系统。SplineTransformer 不再将完整数组交给 SciPy，而是在所选后端构造完整基矩阵。

协方差 / 推断（Covariance / Inference）

样条基函数是确定性计算工具，不产生推断输出（无标准误、p 值或置信区间）。如需使用样条进行统计推断，请参见 GAM 模型，该模型将惩罚样条与 GCV 平滑参数选择相结合。

后端执行与验证边界

SplineTransformer 的节点学习和四种外推均使用 NumPy/CuPy/Torch 共享递推。在已拟合对象切换输入后端时，仅转移节点元数据，不转移完整训练设计。已验证 NumPy/Torch-CPU 外推一致性；真实 CUDA 显存与性能验证仍待完成。

thin_plate_spline_basis 同样使用 device-aware 分配和标量安全的径向运算，并在构造基函数前验证 x、knots 与 penalty order。自然样条的 QR fallback 会在约束矩阵所在设备创建单位矩阵。

strict / approx 区别

样条基计算没有 strict/approx 模式。NumPy、CuPy 与 Torch 使用同一递推；已验证 NumPy/Torch-CPU 紧容差一致性，但真实 CUDA parity 与性能仍待验证。

参数（Parameters）

bspline_basis：

参数	默认值	说明
`x`	必需	评估点，形状 `(n,)`
`knots`	必需	内部节点位置（严格递增）
`degree`	`3`	样条次数
`xp`	`None`	数组模块（`numpy`、`cupy` 或 `torch`）；若为 `None` 则从 `x` 推断

natural_cubic_spline_basis：

参数	默认值	说明
`x`	必需	评估点，形状 `(n,)`
`knots`	必需	内部节点位置（严格递增）
`xp`	`None`	数组模块；若为 `None` 则从 `x` 推断

SplineTransformer：n_knots=5、degree=3、knots='uniform'、 include_bias=True、extrapolation='constant'，并支持 device='auto'。

CPU+GPU 示例（CPU+GPU Examples）

from statgpu.nonparametric.splines import bspline_basis, natural_cubic_spline_basis
import numpy as np

x = np.linspace(0, 1, 500)
knots = np.linspace(0.1, 0.9, 10)

# CPU：B 样条基
B = bspline_basis(x, knots, degree=3, xp=np)
print(f"基矩阵形状: {B.shape}")  # (500, 14)

# CPU：自然三次样条基
B_nat = natural_cubic_spline_basis(x, knots, xp=np)
print(f"自然样条基形状: {B_nat.shape}")  # (500, 12)

CuPy（GPU）：

import cupy as cp

x_gpu = cp.asarray(x)
knots_gpu = cp.asarray(knots)

B_gpu = bspline_basis(x_gpu, knots_gpu, degree=3, xp=cp)
print(f"GPU 基矩阵形状: {B_gpu.shape}")  # (500, 14)

B_nat_gpu = natural_cubic_spline_basis(x_gpu, knots_gpu, xp=cp)
print(f"GPU 自然样条基形状: {B_nat_gpu.shape}")  # (500, 12)

PyTorch（GPU）：

import torch

x_t = torch.tensor(x, device='cuda')
knots_t = torch.tensor(knots, device='cuda')

B_t = bspline_basis(x_t, knots_t, degree=3, xp=torch)
print(f"Torch 基矩阵形状: {B_t.shape}")  # (500, 14)

输出（Outputs）

bspline_basis：返回基矩阵 $B$，形状为 (n, n_knots + degree + 1)。

natural_cubic_spline_basis：返回基矩阵 $B$，形状为 (n, n_knots + 1)。

cyclic_cubic_spline_basis：返回满足周期边界约束的三次样条基。

thin_plate_spline_basis：返回径向基与低阶多项式列组成的矩阵。

SplineTransformer：fit() 后提供 knots_、boundary_lo_、boundary_hi_、n_features_in_ 和 n_features_out_；transform() 返回与输入/所选后端一致的数组。

常见问题（FAQ）

自然样条与普通 B 样条有何区别？ 自然样条在边界处强制线性，减少数据范围边缘的过拟合。当边界行为很重要时，使用自然样条。

样条的 GPU 加速效果如何？ 递推已向量化并保留在设备端，但加速取决于样本量、次数、节点数和后端；完成当前 CUDA benchmark 前不作统一倍数承诺。

外部验证（External Validation）

B 样条基值与 scipy.interpolate.BSpline 验证；相对误差 < 1e-15。
自然三次样条精度：$n \le 500$ 时优秀（< 1e-10）；$n = 5000$ 时一般（约 1.5e-6），原因是边界约束投影中的 SVD 条件数。

参考文献（References）

De Boor, C. (1978). A Practical Guide to Splines. Springer.

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