Update 2026-2-17-1.md

Author: TH911

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 layout: post
-title: "题解：【模板】三维偏序 / 陌上花开"
-subtitle: "树套树三维偏序"
-date: 2026-2-16
+title: "高维偏序"
+subtitle: "树套树三维偏序/高维偏序"
+date: 2026-2-17
 author: "TH911"
 header-img: "img/2024/10/006.jpeg"
 header-mask: 0.4
@@ -11,15 +11,190 @@ tags:
   - 题解
   - 树套树
   - 省选/NOI−
+  - 未完
 words:
+  - 题解：题解：【模板】三维偏序 / 陌上花开
 ---
 
-> [题目传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/P3810)
+> [不知道从哪里下的 PDF](https://th911.dpdns.org/file/2026/02/FHR-分块bitset求高维偏序.pdf)，感觉写的很好。
+
+处理偏序问题时，需要考虑两个元素完全相同的情况，这时需要该元素 $a$ 的统计个数 $\textit{cnt}$，然后统计满足偏序条件元素个数 $x$，则 $a$ 的答案为 $x-1$，同时直接做 $\textit{cnt}$ 的贡献。
+
+# 一维偏序
+
+排序即可。
+
+# 二维偏序
+
+排序之后树状数组统计即可。
+
+比如逆序对。
+
+# 三维偏序
+
+> [luogu P3810 【模板】三维偏序 / 陌上花开](https://www.luogu.com.cn/problem/P3810)
 >
-> 有 $n$ 个元素，第 $ i $ 个元素有 $ a_i,b_i,c_i $ 三个属性，设 $ f(i) $ 表示满足 $ a_j \leq a_i $ 且 $ b_j \leq b_i $ 且 $ c_j \leq c_i $ 且 $ j \ne i $ 的 $j$ 的数量。
+> 有 $n$ 个元素，第 $ i $ 个元素有 $a_i,b_i,c_i$ 三个属性，设 $ f(i) $ 表示满足 $ a_j \leq a_i$ 且 $ b_j \leq b_i$ 且 $ c_j \leq c_i $ 且 $ j \ne i $ 的 $j$ 的数量。
 >
 > 对于所有 $ d \in [0, n) $，求 $ f(i) = d $ 的数量。
 >
 > 设  $a_i,b_i,c_i$ 最大值为 $k$，$1\leq n\leq10^5,1\leq a_i,b_i,c_i\leq k\leq2\times10^5$。
 
-# 一维偏序
+考虑先按照 $a$ 排序，之后就是要求满足 $b_j\leq b_i,c_j\leq c_i$，这就是一个二维限制问题。
+
+考虑树套树解决，树状数组套线段树即可。
+
+        但是需要稍微卡一下空间。
+```cpp
+//#include<bits/stdc++.h>
+#include<algorithm>
+#include<iostream>
+#include<cstring>
+#include<iomanip>
+#include<cstdio>
+#include<string>
+#include<vector>
+#include<cmath>
+#include<ctime>
+#include<deque>
+#include<queue>
+#include<stack>
+#include<list>
+using namespace std;
+constexpr const int N=1e5,V=2e5;
+struct element{
+	int a,b,c;
+}a[N+1];
+int n,k,ans[N+1];
+int size;
+struct node{
+	int l,r;
+	int lChild,rChild;
+	int value;
+}t[V*80+1];
+struct bit{
+	struct segTree{
+		int root;
+		int create(node x){
+			t[++size]=x;
+			return size;
+		}
+		void up(int p){
+			t[p].value=t[t[p].lChild].value+t[t[p].rChild].value;
+		}
+		void down(int p){
+			int mid=t[p].l+t[p].r>>1;
+			if(!t[p].lChild){
+				t[p].lChild=create({t[p].l,mid});
+			}
+			if(!t[p].rChild){
+				t[p].rChild=create({mid+1,t[p].r});
+			}
+		}
+		void add(int p,int x,int k){
+			if(t[p].l==t[p].r){
+				t[p].value+=k;
+				return;
+			}
+			int mid=t[p].l+t[p].r>>1;
+			if(x<=mid){
+				if(!t[p].lChild){
+					t[p].lChild=create({t[p].l,mid});
+				}
+				add(t[p].lChild,x,k);
+			}else{
+				if(!t[p].rChild){
+					t[p].rChild=create({mid+1,t[p].r});
+				}
+				add(t[p].rChild,x,k);
+			}
+			up(p);
+		}
+		void add(int x,int k){
+			add(root,x,k);
+		}
+		int query(int p,int x){
+			if(t[p].r<=x){
+				return t[p].value;
+			}
+//			down(p);
+			int ans=0;
+			if(t[p].lChild){
+				ans=query(t[p].lChild,x);
+			}
+			if(t[p].rChild){
+				if(t[t[p].rChild].l<=x){
+					ans+=query(t[p].rChild,x);
+				}
+			}
+			return ans;
+		}
+		int query(int x){
+			return query(root,x);
+		}
+	}T[V+1];
+	
+	int lowbit(int x){
+		return x&-x;
+	}
+	void insert(int b,int c,int x){
+		while(b<=k){
+			T[b].add(c,x);
+			b+=lowbit(b);
+		}
+	}
+	int query(int b,int c){
+		int ans=0;
+		while(b){
+			ans+=T[b].query(c);
+			b-=lowbit(b);
+		}
+		return ans;
+	}
+	void build(){
+		for(int i=1;i<=k;i++){
+			T[i].root=T[i].create({1,k});
+		}
+	}
+}T;
+int main(){
+//	freopen("test.in","r",stdin);
+//	freopen("test.out","w",stdout);
+	
+	ios::sync_with_stdio(false);
+	cin.tie(0);cout.tie(0);
+	
+	cin>>n>>k;
+	T.build();
+	for(int i=1;i<=n;i++){
+		cin>>a[i].a>>a[i].b>>a[i].c;
+	}
+	sort(a+1,a+n+1,[](element a,element b){
+		if(a.a!=b.a){
+			return a.a<b.a;
+		}else if(a.b!=b.b){
+			return a.b<b.b;
+		}else{
+			return a.c<b.c;
+		}
+	});
+	for(int i=1;i<=n;i++){
+		int cnt=1;
+		while(i<n&&a[i+1].a==a[i].a&&a[i+1].b==a[i].b&&a[i+1].c==a[i].c){
+			i++;
+			cnt++;
+		}
+		T.insert(a[i].b,a[i].c,cnt);
+		ans[T.query(a[i].b,a[i].c)-1]+=cnt;
+	}
+	for(int i=0;i<n;i++){
+		cout<<ans[i]<<'\n';
+	}
+	
+	cout.flush();
+	 
+	/*fclose(stdin);
+	fclose(stdout);*/
+	return 0;
+}
+```